В линейной алгебре , А матрица в форме эшелона , если он имеет форму полученную из метода исключения Гаусса .
Матрица, находящаяся в форме эшелона строк, означает, что устранение Гаусса выполнено в строках, а форма эшелона столбца означает, что исключение Гаусса выполнено в столбцах. Другими словами, матрица находится в форме эшелона столбцов, если ее транспонирование имеет форму эшелона строк. Таким образом, в оставшейся части статьи рассматриваются только строчные формы эшелонов. Подобные свойства формы эшелона столбцов легко выводятся путем транспонирования всех матриц. В частности, матрица находится в форме эшелона строк, если
- все строки, состоящие только из нулей, находятся внизу.
- старший коэффициент (также называемый стержнем ) ненулевые строки всегда строго справа от старшего коэффициента ряда над ним.
В некоторых текстах добавлено условие, согласно которому старший коэффициент должен быть равен 1. [1]
Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце под ведущим коэффициентом равны нулю. [2]
Ниже приведен пример матрицы 3 × 5 в форме эшелона строк, которая не имеет формы сокращенного эшелона строк (см. Ниже):
Многие свойства матриц могут быть легко выведены из их строковой формы, например ранг и ядро .
Уменьшенная форма рядного эшелона
Матрица находится в приведенной форме эшелона строк (также называемой канонической формой строки ), если она удовлетворяет следующим условиям: [3]
- Он строится в форме эшелона.
- Начальная запись в каждой ненулевой строке - это 1 (называемая ведущей 1).
- Каждый столбец, содержащий первую единицу, имеет нули во всех остальных записях.
Приведенная эшелонированная форма матрицы может быть вычислена методом исключения Гаусса – Жордана . В отличие от формы эшелона строк, приведенная форма эшелона строк матрицы уникальна и не зависит от алгоритма, используемого для ее вычисления. [4] Для данной матрицы, несмотря на то, что форма эшелона строк не уникальна, все формы эшелона строк и сокращенная форма эшелона строк имеют одинаковое количество нулевых строк, а сводные точки расположены в одних и тех же индексах. [4]
Это пример матрицы в сокращенной форме эшелона строк, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :
Для матриц с целочисленными коэффициентами нормальная форма Эрмита представляет собой эшелонированную форму строки, которая может быть вычислена с использованием евклидова деления и без введения какого-либо рационального числа или знаменателя. С другой стороны, приведенная эшелонированная форма матрицы с целочисленными коэффициентами обычно содержит нецелочисленные коэффициенты.
Преобразование в форму строкового эшелона
С помощью конечной последовательности элементарных операций со строками , называемых исключением по Гауссу , любая матрица может быть преобразована в форму эшелона строк. Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
Полученная форма эшелона не уникальна; любую матрицу, которая находится в форме эшелона, можно преобразовать в ( эквивалентную ) форму эшелона, добавив скалярное кратное строки к одной из вышеперечисленных строк, например:
Однако каждая матрица имеет уникальную приведенную форму эшелона строк. В приведенном выше примере сокращенная форма эшелона строк может быть найдена как
Это означает, что ненулевые строки сокращенной формы эшелона строк являются уникальным порождающим набором сокращенного эшелона строк для пространства строк исходной матрицы.
Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называются в строке форме эшелона , если ее расширенная матрица в виде строки эшелона. Точно так же система линейных уравнений называется сокращенной эшелонированной строкой или канонической формой, если ее расширенная матрица находится в форме сокращенного эшелона строк.
Канонический вид можно рассматривать как явное решение линейной системы. Фактически, система несовместна тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонической формы сводится к 0 = 1. [5] В противном случае, перегруппировка в правой части всех членов уравнений, кроме главных, выражает переменные, соответствующие поворотным точкам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.
Псевдокод для сокращенной формы эшелона строки
Следующий псевдокод преобразует матрицу в сокращенную форму эшелона строк:
функция ToReducedRowEchelonForm (Matrix M) является ведущей : = 0 rowCount : = количество строк в M columnCount : = количество столбцов в M для 0 ≤ r < rowCount делать, если columnCount ≤ ведущий, затем остановить функцию end, если i = r, в то время как M [ i , lead ] = 0 do i = i + 1, если rowCount = i, то i = r lead = lead + 1, если columnCount = lead, затем остановите функцию end if end if end while if i ≠ r то поменяйте местами строки i и r Divide row r на M [ r , lead ] для 0 ≤ i < rowCount делать, если i ≠ r do Вычесть M [i, lead], умноженное на строку r, из конца строки i, если end для lead = lead + 1 end для конечной функции
Следующий псевдокод преобразует матрицу в форму эшелона строк (без сокращения):
функция ToRowEchelonForm (матрица M) равна nr : = количество строк в M nc : = количество столбцов в M для 0 ≤ rdo allZeros : = true для 0 ≤ c < nc do if M [ r , c ]! = 0 then allZeros : = false exit for end if end for if allZeros = true then In M, поменять местами строку r с ряда пг пг : = NR - 1 конец , если конец для р : = 0 , а р < NR и р < пс сделать метку nextPivot: г : = 1 , а М [ р , р ] = 0 делать , если ( р + г ) <= NR , то р : = р + 1 Гото nextPivot конец , если В M поменяйте местами строку p на строку ( p + r ) r : = r + 1 end, а для 1 ≤ r <( nr - p ) сделайте, если M [ p + r , p ]! = 0, то x : = -M [ p + r , p ] / M [ p , p ] для p ≤ c < nc do M [ p + r , c ]: = M [ p , c ] * x + M [ p + r , c ] конец для end if end for p : = p + 1 end while end функция
Заметки
- ↑ См., Например, Леон (2009 , с. 13).
- Перейти ↑ Meyer 2000 , p. 44
- Перейти ↑ Meyer 2000 , p. 48
- ^ a b Антон, Ховард; Роррес, Крис (2013-10-23). Элементарная линейная алгебра: версия приложений, 11-е издание . Wiley Global Education. п. 21. ISBN 9781118879160.
- ^ Чейни, Уорд; Кинкейд, Дэвид Р. (29 декабря 2010 г.). Линейная алгебра: теория и приложения . Издательство "Джонс и Бартлетт". С. 47–50. ISBN 9781449613525.
Рекомендации
- Леон, Стив (2009), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0136009290.
- Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.