Регулируемый интеграл

В математике , то регулируемый интеграл является определением интеграции для регулируемых функций , которые определены как единые пределы от ступенчатых функций . Николя Бурбаки и Жан Дьедонне выступали за использование регулируемого интеграла вместо интеграла Римана .

Определение [ править ]

Определение ступенчатых функций [ править ]

Пусть [ , Ь ] фиксированный закрыт , ограниченный интервал в вещественной прямой R . Действительнозначная функция φ  : [ a ,  b ] → R называется ступенчатой, если существует конечное разбиение

${\ Displaystyle \ Pi = \ {a = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {k} = b \}}$

из [ a , b ] такое, что φ постоянна на каждом открытом интервале ( t _i , t _{i +1} ) из Π; Предположим , что эта константа значение с _я ∈ R . Затем определим интеграл от ступенчатой ​​функции φ как

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ varphi (t) \, \ mathrm {d} t: = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} c_ {i} | t_ {i +1} -t_ {i} |.}$

Можно показать, что это определение не зависит от выбора разбиения в том смысле, что если Π ₁ - другое разбиение [ a ,  b ] такое, что φ постоянна на открытых интервалах ₁ , то численное значение интеграла от φ для Π ₁ такая же, как для.

Расширение регулируемых функций [ править ]

Функция f  : [ a , b ] → R называется регулируемой функцией, если она является равномерным пределом последовательности ступенчатых функций на [ a , b ]:

• существует последовательность ступенчатых функций ( φ _n ) _{n ∈ N} такая, что || φ _n - f || _∞ → 0 при n → ∞; или, что то же самое,
• для всех ε > 0 существует ступенчатая функция φ _ε такая, что || φ _ε - f || _∞ < ε ; или, что то же самое,
• f лежит в замыкании пространства ступенчатых функций, где замыкание берется в пространстве всех ограниченных функций [ a , b ] → R и относительно нормы супремума || ⋅ || _∞ ; или, что эквивалентно,
• для любого t ∈ [ a , b ) правый предел

  ${\ Displaystyle F (T +) = \ lim _ {s \ downarrow t} f (s)}$

  существует, и для любого t ∈ ( a , b ] левый предел

  ${\ Displaystyle е (т -) = \ lim _ {s \ uparrow t} f (s)}$

  тоже существует.

Определим интеграл регулируемой функции f как

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} \ varphi _ {п} (t) \, \ mathrm {d} t,}$

где ( φ _n ) _{n ∈ N} - любая последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящаяся к f .

Нужно проверить , что этот предел существует и не зависит от выбранной последовательности, но это является непосредственным следствием непрерывной линейного расширения теоремы элементарного функционального анализа: а ограниченный линейным оператор T ₀ , определенного на плотном линейном подпространстве E ₀ из нормированных линейных пространство E и принимает значения в банаховом пространстве F однозначно продолжается до ограниченного линейного оператора T  : E → F с той же (конечной) операторной нормой .

Свойства регулируемого интеграла [ править ]

• Интеграл есть линейный оператор : для любых регулируемых функций F и г и константы α и & beta ; ,

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\,\mathrm {d} t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

• Интеграл также является ограниченным оператором : любая регулируемая функция f ограничена, и если m ≤ f ( t ) ≤ M для всех t ∈ [ a , b ], то

  ${\displaystyle m|b-a|\leq \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\leq M|b-a|.}$

  В частности:

  ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t.}$

• Поскольку ступенчатые функции интегрируемы, а интегрируемость и значение интеграла Римана совместимы с равномерными пределами, регулируемый интеграл является частным случаем интеграла Римана.

Расширение функций, определенных для всей реальной линии [ править ]

Можно расширить определения ступенчатой ​​функции и регулируемой функции и связанных с ними интегралов до функций, определенных на всей действительной прямой . Однако следует соблюдать осторожность с некоторыми техническими моментами:

• раздел, на открытых интервалах которого требуется, чтобы ступенчатая функция была постоянной, может быть счетным множеством, но должно быть дискретным множеством , т. е. не иметь предельных точек ;
• требование равномерной сходимости должно быть ослаблено до требования равномерной сходимости на компактах , т. е. на замкнутых и ограниченных интервалах;
• не всякая ограниченная функция интегрируема (например, функция с постоянным значением 1). Это приводит к понятию локальной интегрируемости .

Расширение векторных функций [ править ]

Приведенные выше определения проходят с соответствующими изменениями в случае функций , принимающих значения в нормированном векторном пространстве X .

См. Также [ править ]

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана

Ссылки [ править ]

• Бербериан, СК (1979). «Регулируемые функции: альтернатива Бурбаки интегралу Римана». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 86 (3): 208. DOI : 10,2307 / 2321526 . JSTOR  2321526 .
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике , 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3805-9.