В математике уравнение репликатора - это детерминированная монотонная нелинейная и неинновационная игровая динамика, используемая в эволюционной теории игр . [1] Уравнение репликатора отличается от других уравнений, используемых для моделирования репликации, таких как уравнение квазивидов , тем, что оно позволяет функции приспособленности включать распределение типов популяции, а не устанавливать приспособленность константы конкретного типа. Это важное свойство позволяет уравнению репликатора уловить суть отбора . В отличие от уравнения квазивидов, уравнение репликатора не учитывает мутации. и поэтому не может вводить новшества в новые типы или чистые стратегии.
Уравнение
Наиболее общая непрерывная форма уравнения репликатора дается дифференциальным уравнением :
где это пропорция типа в населении, - вектор распределения типов в популяции, пригодность типа (который зависит от населения), и - средняя приспособленность популяции (определяется средневзвешенной пригодностью типы в популяции). Поскольку элементы вектора популяциисумма к единице по определению, уравнение определено на n-мерном симплексе .
Уравнение репликатора предполагает равномерное распределение населения; то есть, он не включает структуру населения в приспособленность. В отличие от других подобных уравнений, таких как уравнение квазивидов, ландшафт приспособленности действительно включает распределение типов в популяции.
В приложении совокупности обычно конечны, что делает дискретную версию более реалистичной. В дискретной формулировке анализ более сложен и требует больших вычислительных ресурсов, поэтому часто используется непрерывная форма, хотя из-за этого сглаживания теряются важные свойства. Обратите внимание, что непрерывная форма может быть получена из дискретной формы ограничивающим процессом.
Чтобы упростить анализ, часто предполагается, что приспособленность линейно зависит от распределения популяции, что позволяет записать уравнение репликатора в форме:
где матрица выплат содержит всю информацию о пригодности для населения: ожидаемый выигрыш можно записать как а среднюю приспособленность популяции в целом можно записать как . Можно показать, что изменение соотношения двух пропорций по времени:
Вывод детерминированной и стохастической динамики репликатора
Предположим, что количество особей типа является и что общее количество особей . Определите долю каждого типа, который будет. Предположим, что изменение каждого типа определяется геометрическим броуновским движением :
Анализ
Анализ различается в непрерывном и дискретном случаях: в первом используются методы из дифференциальных уравнений, во втором - методы, как правило, стохастические. Поскольку уравнение репликатора нелинейно, точное решение трудно получить (даже в простых версиях непрерывной формы), поэтому уравнение обычно анализируется с точки зрения устойчивости. Уравнение репликатора (в его непрерывной и дискретной формах) удовлетворяет народной теореме эволюционной теории игр, которая характеризует устойчивость положений равновесия уравнения. Решение уравнения часто дается набором эволюционно устойчивых состояний популяции.
В общих невырожденных случаях может быть не более одного внутреннего эволюционно устойчивого состояния (ESS), хотя на границе симплекса может быть много положений равновесия. Все грани симплекса инвариантны вперед, что соответствует отсутствию инноваций в уравнении репликатора: как только стратегия вымирает, нет никакого способа ее возродить.
Решения фазового портрета для уравнения непрерывного репликатора линейной пригодности были классифицированы в двух- и трехмерном случаях. Классификация более трудна в больших измерениях, потому что количество отдельных портретов быстро увеличивается.
Связь с другими уравнениями
Уравнение непрерывного репликатора на типов эквивалентно обобщенному уравнению Лотки – Вольтерра вГабаритные размеры. [2] [3] Преобразование производится заменой переменных:
где - переменная Лотки – Вольтерры. Динамика непрерывного репликатора также эквивалентна уравнению цены . [4]
Уравнение дискретного репликатора
Когда кто-то рассматривает неструктурированную бесконечную популяцию с неперекрывающимися поколениями, следует работать с дискретными формами уравнения репликатора. Математически две простые феноменологические версии ---
--- согласуются с дарвиновским принципом естественного отбора или любым аналогичным эволюционным феноменом. Здесь штрих означает следующий временной шаг. Однако дискретный характер уравнений накладывает ограничения на элементы матрицы выигрыша. [5] Интересно, что для простого случая игр с двумя игроками и двумя стратегиями карта репликатора типа I способна показать бифуркацию удвоения периода, ведущую к хаосу, а также дает подсказку о том, как обобщить [6] концепцию эволюционное стабильное состояние для размещения периодических решений карты.
Обобщения
Обобщение уравнения репликатора, которое включает мутации, дается уравнением репликатор-мутатор, которое принимает следующую форму в непрерывной версии: [7]
где матрица дает вероятности перехода для мутации типа печатать , пригодность а также это средняя приспособленность населения. Это уравнение является одновременным обобщением уравнения репликатора и уравнения квазивидов и используется в математическом анализе языка.
Дискретная версия уравнения репликатор-мутатор может иметь два простых типа в соответствии с двумя картами репликатора, написанными выше:
а также
соответственно.
Уравнение репликатора или уравнение репликатор-мутатор может быть расширено [8], чтобы включить эффект задержки, который либо соответствует отложенной информации о состоянии популяции, либо в реализации эффекта взаимодействия между игроками. Уравнение репликатора также можно легко обобщить на асимметричные игры . Недавнее обобщение, которое включает популяционную структуру, используется в эволюционной теории графов . [9]
Рекомендации
- ^ Хофбауэр, Йозеф; Зигмунд, Карл (2003). «Эволюционная динамика игры» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (4): 479–519. DOI : 10.1090 / S0273-0979-03-00988-1 . ISSN 0273-0979 .
- ^ Бомзе, Иммануил М. (1983-10-01). «Уравнение Лотки-Вольтерра и динамика репликатора: двумерная классификация». Биологическая кибернетика . 48 (3): 201–211. DOI : 10.1007 / BF00318088 . ISSN 1432-0770 . S2CID 206774680 .
- ^ Бомзе, Иммануил М. (1 апреля 1995 г.). «Уравнение Лотки-Вольтерра и динамика репликатора: новые вопросы классификации». Биологическая кибернетика . 72 (5): 447–453. DOI : 10.1007 / BF00201420 . ISSN 1432-0770 . S2CID 18754189 .
- ^ Пейдж, КАРЕН М .; Новак, МАРТИН А. (07.11.2002). «Объединяющая эволюционная динамика» . Журнал теоретической биологии . 219 (1): 93–98. DOI : 10,1006 / jtbi.2002.3112 . ISSN 0022-5193 . PMID 12392978 .
- ^ Пандит, Варун; Мухопадхьяй, Арчан; Чакраборти, Сагар (2018). «Вес отклонения от пригодности управляет строгим физическим хаосом в динамике репликатора». Хаос . 28 (3): 033104. arXiv : 1703.10767 . Bibcode : 2018Chaos..28c3104P . DOI : 10.1063 / 1.5011955 . PMID 29604653 . S2CID 4559066 .
- ^ Мухопадхьяй, Арчан; Чакраборти, Сагар (2020). «Периодическая орбита может быть эволюционно устойчивой: пример динамики дискретного репликатора» . Журнал теоретической биологии . 497 : 110288. arXiv : 2102.11034 . DOI : 10.1016 / j.jtbi.2020.110288 . PMID 32315673 .
- ^ Новак, Мартин А. (2006). Эволюционная динамика: изучение уравнений жизни . Белкнап Пресс. С. 272–273. ISBN 978-0674023383.
- ^ Альбошта, Ян; Менкиш, Яцек (2004). «Устойчивость эволюционно устойчивых стратегий в дискретной динамике репликатора с временной задержкой» . Журнал теоретической биологии . 231 (2): 175–179. arXiv : q-bio / 0409024 . DOI : 10.1016 / j.jtbi.2004.06.012 . PMID 15380382 . S2CID 15308310 .
- ^ Либерман, Эрез; Хауэрт, Кристоф; Новак, Мартин А. (2005). «Эволюционная динамика на графах» . Природа . 433 (7023): 312–316. Bibcode : 2005Natur.433..312L . DOI : 10,1038 / природа03204 . ISSN 1476-4687 . PMID 15662424 . S2CID 4386820 .
дальнейшее чтение
- Крессман, Р. (2003). Эволюционная динамика и игры с расширенной формой . MIT Press.
- Тейлор, PD; Йонкер, Л. (1978). «Эволюционно стабильные стратегии и динамика игры». Математические биологические науки , 40 : 145-156.
- Сандхольм, Уильям Х. (2010). Популяционные игры и эволюционная динамика . Экономическое обучение и социальная эволюция, MIT Press.
Внешние ссылки
- Искьердо, С.С., Искьердо, Л.Р. (2011). Онлайн-программное обеспечение: динамика репликатора-мутатора с тремя стратегиями