В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце подобен частице в ящике . Уравнение Шредингера для свободной частицы, которая ограничена кольцом (технически, конфигурационным пространством которого является круг ), имеет вид
Волновая функция [ править ]
Используя полярные координаты на одномерном кольце радиуса R, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому
Требование , чтобы волновая функция будет периодической в с периодом (от спроса , что волновые функции однозначна функция по окружности ), и что они быть нормированными приводят к условиям
- ,
и
В этих условиях решение уравнения Шредингера дается формулой
Собственные значения энергии [ править ]
Эти энергетические собственные являются квантуется из-за периодических граничных условий , и они должны удовлетворять
- , или же
Собственная функция и собственная энергия равны
- куда
Следовательно, существует два вырожденных квантовых состояния для каждого значения (соответствующего ). Следовательно, существует 2 n +1 состояний с энергиями вплоть до энергии, индексированной числом n .
Случай частицы в одномерном кольце является поучительным примером при изучении квантования из углового момента для, скажем, электрона на орбиту ядра . В азимутальные волновые функции в этом случае идентичны энергии собственных функций частицы на кольце.
Утверждение , что любая волновая функция для частицы на кольце может быть записана в виде суперпозиции по энергии собственных точно совпадает с теоремой Фурье о развитии любой периодической функции в ряд Фурье .
Эту простую модель можно использовать для определения приблизительных уровней энергии некоторых кольцевых молекул, например бензола.
Заявление [ править ]
В органической химии , ароматические соединения содержат атомные кольца, такие как бензол кольца (в Кекуле структура) , состоящие из пяти или шести, как правило , углерода , атомов. То же самое с поверхностью « бакиболов » (бакминстерфуллерен). Это кольцо ведет себя как круглый волновод , в котором валентные электроны вращаются в обоих направлениях. Для заполнения всех уровней энергии до n требуются электроны, так как у электронов есть дополнительно две возможные ориентации их спинов. Это дает исключительную стабильность («ароматичность») и известно как правило Хюккеля .
В дальнейшем в вращательной спектроскопии эту модель можно использовать как приближение вращательных уровней энергии.
См. Также [ править ]
- Угловой момент
- Гармонический анализ
- Одномерный периодический случай