Вращение осей

Х -Cartesian системы координат поворачивается на угол к Ему -Cartesian системы координат${\ displaystyle \ theta}$

В математике , A поворот осей в двух измерениях является отображением из х - декартова системы координат к Ему -Cartesian системы координат , в которой начало координаты сохраняются фиксированными и х ' и у» оси получаются поворот оси x и y повернуты против часовой стрелки на угол . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x ' , y' ) относительно новой системы.${\ displaystyle \ theta}$^[1] В новой системе координат точка P будет казаться повернутой в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол. Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях. ^{[2] [3]} Вращение осей - это линейное отображение ^{[4] [5]} и жесткое преобразование .${\ displaystyle \ theta}$

Мотивация [ править ]

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых методами аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном месте по отношению к рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол , то фокусы , как правило , расположены на одной из осей и расположены симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. Д.) НеРасположенная удобно по отношению к осям, необходимо изменить систему координат, чтобы расположить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат . ^[6]

Решения многих проблем можно упростить, вращая оси координат, чтобы получить новые оси через то же начало.

Вывод [ править ]

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое поворачивает оси xy против часовой стрелки на угол в оси x'y ' , выводятся следующим образом.${\ displaystyle \ theta}$

В ху системе, пусть точка Р имеет полярные координаты . Тогда, в Ей системе P будет иметь полярные координаты .${\ Displaystyle (г, \ альфа)}$${\ Displaystyle (г, \ альфа - \ тета)}$

Используя тригонометрические функции , мы имеем

${\ Displaystyle х = г \ соз \ альфа}$

( 1 )

${\ Displaystyle у = г \ грех \ альфа}$

( 2 )

и используя стандартные тригонометрические формулы для разностей, имеем

${\ Displaystyle х '= р \ соз (\ альфа - \ тета) = г \ соз \ альфа \ соз \ тета + г \ грех \ альфа \ грех \ тета}$

( 3 )

${\ displaystyle y '= r \ sin (\ alpha - \ theta) = r \ sin \ alpha \ cos \ theta -r \ cos \ alpha \ sin \ theta.}$

( 4 )

Подставляя уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в уравнения ( 3 ) и ( 4 ), получаем

${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$

( 5 )

${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .}$[7]

( 6 )

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) могут быть представлены в матричной форме как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},}$

которое является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях. ^[8]

Обратное преобразование:

${\displaystyle x=x'\cos \theta -y'\sin \theta }$

( 7 )

${\displaystyle y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,}$[9]

( 8 )

или же

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}.}$

Примеры в двух измерениях [ править ]

Пример 1 [ править ]

Найдите координаты точки после поворота осей на угол , или 30 °.${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}$${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$

Решение:

${\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}$

${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.}$

Оси были повернуты против часовой стрелки на угол, а новые координаты равны . Обратите внимание, что точка, похоже, была повернута по часовой стрелке относительно фиксированных осей, поэтому теперь она совпадает с (новой) осью x ' .${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$${\displaystyle \pi /6}$

Пример 2 [ править ]

Найдите координаты точки после поворота осей по часовой стрелке на 90 °, то есть на угол или -90 °.${\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$

Решение:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-7\\7\end{pmatrix}}.}$

Оси были повернуты на угол , который по часовой стрелке, а новые координаты равны . Опять же, обратите внимание, что точка, похоже, была повернута против часовой стрелки относительно фиксированных осей.${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$${\displaystyle \pi /2}$

Вращение конических секций [ править ]

Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$     ( не все нулевые). [10]${\displaystyle A,B,C}$

( 9 )

Изменяя координаты (вращение осей и перемещение осей ), уравнение ( 9 ) можно придать стандартной форме , с которой обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты таким образом, чтобы в новой системе не было члена x'y ' . Подставляя уравнения ( 7 ) и ( 8 ) в уравнение ( 9 ), получаем

${\displaystyle A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,}$

( 10 )

куда

${\displaystyle A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \theta \cos \theta +C\sin ^{2}\theta ,}$ ${\displaystyle B'=2(C-A)\sin \theta \cos \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ),}$ ${\displaystyle C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \theta \cos \theta +C\cos ^{2}\theta ,}$ ${\displaystyle D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,}$ ${\displaystyle E'=-D\sin \theta +E\cos \theta ,}$ ${\displaystyle F'=F.}$

( 11 )

Если выбрано так, что у нас будет и член x'y ' в уравнении ( 10 ) исчезнет. ^[11]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$${\displaystyle B'=0}$

Когда возникает проблема с B , D и E, отличными от нуля, их можно устранить, последовательно выполнив поворот (исключив B ) и перевод (исключив члены D и E ). ^[12]

Определение повернутых конических секций [ править ]

Невырожденное коническое сечение, заданное уравнением ( 9 ), можно идентифицировать путем оценки . Коническое сечение:${\displaystyle B^{2}\ -\ 4AC}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{an ellipse or a circle}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ <\ 0;\\{\mbox{a parabola}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ =\ 0;\\{\mbox{a hyperbola}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ >\ 0.\end{cases}}}$^[13]

Обобщение на несколько измерений [ править ]

Предположим, что прямоугольная система координат xyz вращается вокруг своей оси z против часовой стрелки (если смотреть вниз по положительной оси z ) на угол , то есть положительная ось x сразу же поворачивается в положительную ось y . Г координата каждой точки остается неизменным , а х и у координаты преобразования , как описано выше. Старые координаты ( x , y , z ) точки Q связаны с ее новыми координатами ( x ' , y' , z ' ) соотношением${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$^[14]

Обобщая до любого конечного числа измерений, матрица вращения представляет собой ортогональную матрицу, которая отличается от единичной матрицы не более чем четырьмя элементами. Эти четыре элемента имеют форму${\displaystyle A}$

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$      и      ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

для некоторых и некоторых i ≠ j . ^[15]${\displaystyle \theta }$

Пример в нескольких измерениях [ править ]

Пример 3 [ править ]

Найдите координаты точки после поворота положительной оси w на угол , или 15 °, в положительную ось z .${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$

Решение:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \approx {\begin{pmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{pmatrix}}.}$

См. Также [ править ]

• Вращение
• Вращение (математика)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бэрден, Ричард Л .; Faires, J. Douglas (1993), Численный анализ (5-е изд.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H .; Морри-младший, Чарльз Б. (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042