В математике , теорема Сарда , также известная как леммы Сарда или теорема Морса-Сард , является результатом в математическом анализе , который утверждает , что множество критических значений (то есть, изображение множества критических точек ) из гладкой функции F от одного евклидова пространства или многообразия к другому - это нулевое множество , т. е. оно имеет меру Лебега 0. Это делает набор критических значений «маленьким» в смысле общего свойства . Теорема названа в честь Энтони Морса.и Артур Сард .
Заявление
Более явно, [1] пусть
быть , (это, раз непрерывно дифференцируемые ), где. ПозволятьОбозначим множество критических из который представляет собой набор точек при котором матрица Якоби изимеет звание . Тогда изображение имеет меру Лебега 0 в .
Интуитивно говоря, это означает, что хотя может быть большим, его изображение должно быть маленьким в смысле меры Лебега: в то время как может иметь много критических точек в области, у него должно быть несколько критических значений в изображении.
В более общем плане результат также верен для отображений между дифференцируемыми многообразиями а также размеров а также , соответственно. Критический набор из функция
состоит из тех точек, в которых дифференциал
имеет ранг ниже, чем как линейное преобразование. Если, то теорема Сарда утверждает, что образ имеет нулевую меру как подмножество . Такая формулировка результата следует из версии для евклидовых пространств, взяв счетное множество координатных пятен. Заключение теоремы является локальным утверждением, поскольку счетное объединение множеств нулевой меры является множеством нулевой меры, а свойство подмножества координатного пятна, имеющего нулевую меру, инвариантно относительно диффеоморфизма .
Варианты
Есть много вариантов этой леммы, которая играет основную роль в теории особенностей среди других областей. Делобыл доказан Энтони П. Морсом в 1939 году [2], а общий случай - Артуром Сардом в 1942 году [1].
Версия для бесконечномерных банаховых многообразий была доказана Стивеном Смейлом . [3]
Утверждение весьма убедительно, и его доказательство требует анализа. В топологии это часто цитируется - как в теореме Брауэра о неподвижной точке и некоторых приложениях в теории Морса - для доказательства более слабого следствия, что «непостоянное гладкое отображение имеет по крайней мере одно регулярное значение».
В 1965 году Сард далее обобщил свою теорему, заявив, что если является для и если это набор точек такой, что имеет ранг строго ниже, чем , То г - мерная мера Хаусдорфа изравно нулю. [4] В частности, размерность Хаусдорфа изне превосходит г . Предостережение: Хаусдорфово измерениеможет быть сколь угодно близким к r . [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Б Сарда, Артур (1942), «Мера критических значений дифференцируемых отображений» , Бюллетень Американского математического общества , 48 (12): 883-890, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1942-07811- 6 , MR 0007523 , Zbl 0063.06720 .
- ^ Morse, Энтони П. (январь 1939), "Поведение функции на критическом множестве", Анналы математики , 40 (1): 62-70, DOI : 10,2307 / 1968544 , JSTOR 1968544 , MR 1503449 .
- ^ Smale, Стивен (1965), "бесконечномерную версия теоремы Сарда", Американский журнал математики , 87 (4): 861-866, DOI : 10,2307 / 2373250 , JSTOR 2373250 , MR 0185604 , Zbl 0143,35301 .
- ^ Сарда, Артур (1965), "Мера Хаусдорфа критических изображений на банаховом многообразиях", Американский журнал математики , 87 (1): 158-174, DOI : 10,2307 / 2373229 , JSTOR 2373229 , MR 0173748 , Zbl 0137,42501 а также Сарда, Артур (1965), "Исправление к Хаусдорфу мера критических изображений на банахов многообразий ", Американский журнал математики , 87 (3): 158-174, DOI : 10,2307 / 2373229 , JSTOR 2373074 , MR 0180649 , Zbl 0137,42501 .
- ^ «Покажите, что f (C) имеет размерность Хаусдорфа не более нуля» , Stack Exchange , 18 июля 2013 г.
дальнейшее чтение
- Хирш, Моррис В. (1976), Дифференциальная топология , Нью-Йорк: Springer, стр. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
- Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall , MR 0193578 , Zbl 0129.13102 .