В математике , то симметрия вторых производных (также называемых равенством смешанных партиалов ) относится к возможности при определенных условиях (см ниже) поменяв порядок принятия частных производных из функции
от n переменных. Симметрия - это утверждение, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству
так что они образуют симметричную матрицу размера n × n , известную как матрица Гессе функции . Это иногда называют теоремой Шварца , теоремы Клеро , или теоремы Юнга . [1] [2]
В контексте уравнений в частных производных это называется условием интегрируемости Шварца .
Формальные выражения симметрии
В символах симметрия может быть выражена как:
Другое обозначение:
С точки зрения композиции из дифференциального оператора D я , который принимает частичную производную по х я :
- .
Из этого соотношения следует, что кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами , порожденное D i , коммутативно ; но это верно только как операторы в области достаточно дифференцируемых функций. Легко проверить симметрию применительно к одночленам , так что можно взять многочлены от x i в качестве области. Фактически гладкие функции - еще одна допустимая область.
История
Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет давнюю историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с доказательства Эйлера , опубликованного в 1740 году, хотя уже в 1721 году Бернулли неявно предположил результат без формального обоснования. [3] [4] Клеро также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, без каких-либо других попыток до конца 18 века. Начиная с этого периода в течение 70 лет был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797 г.) было улучшено Коши (1823 г.), но предполагалось существование и непрерывность частных производных а также . [5] Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841 г.), Дюамелем (1856 г.), Штурмом (1857 г.), Шлемильхом (1862 г.) и Бертраном (1864 г.). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все предыдущие ошибочные доказательства и смог привести конкретный контрпример, в котором смешанные производные не могут быть равны. [6] [7]
Через шесть лет после этого Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. [8] Дини позже внес свой вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, Джордан в 1883 году нашел чистую и более общую версию, которая до сих пор является доказательством, которое можно найти в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардсом (1892), П. Хаагом (1893), Дж. К. Виттемором (1898), Виванти (1899) и Пьерпонтом (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907–1909 годах, когда Э. В. Хобсон и У. Янг нашли доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори дал другое доказательство, основанное на интеграле Лебега . [7]
Теорема Шварца
В математическом анализе , теорема Шварца (или теорема Клеро о равенстве смешанных частичными ) [9] имени Алексис Клеро и Герман Шварц , заявляет , что для функции определено на множестве , если является точкой, что некоторые окрестности из содержится в а также имеет непрерывные вторые частные производные в точке, тогда
Частные производные этой функции коммутируют в этой точке.
Один простой способ установить эту теорему (в случае, когда , , а также , Которая легко влечет за собой результат в целом), применяя теорему Грина к градиенту от
Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости состоит в следующем (простой редукцией общий случай теоремы Шварца явно сводится к плоскому случаю). [10] Пусть - дифференцируемая функция на открытом прямоугольнике, содержащем и предположим, что продолжается с а также оба сплошные. Определять
Эти функции определены для , где а также .
По теореме о среднем значении промежуточные значения можно найти в с участием
С , первое равенство, приведенное ниже, можно разделить на :
Сдача стремятся к нулю в последнем равенстве, предположения непрерывности а также теперь подразумевают, что
Это простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, в Burkill, Apostol и Rudin. [11] [12]
Хотя приведенный выше вывод является элементарным, подход также можно рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным. [13] [14] [15] [16] [17] Действительно, разностные операторы ездить на работу и как правило в виде стремится к 0 с аналогичным утверждением для операторов второго порядка. [18] Здесь для вектор на плоскости и направленный вектор, оператор разности определяется как
По основной теореме исчисления для функции на открытом интервале с участием
Следовательно
- .
Это обобщенная версия теоремы о среднем значении . Напомним, что элементарное обсуждение максимумов или минимумов для вещественнозначных функций означает, что если непрерывно на и дифференцируемый на , то есть точка в такой, что
Для векторнозначных функций с конечномерное нормированное пространство, аналога приведенного выше равенства не существует, да оно и не выполняется. Но с тех пор, указанное выше неравенство является полезной заменой. Более того, используя спаривание двойника со своей двойственной нормой дает следующее равенство:
- .
Эти версии теоремы о среднем значении обсуждаются у Рудина, Хёрмандера и в других местах. [19] [12]
Для а функцию на открытом множестве в плоскости, определим а также . Кроме того, для набор
- .
Тогда для в открытом множестве обобщенную теорему о среднем можно применить дважды:
Таким образом как правило в виде стремится к 0. Тот же аргумент показывает, что как правило . Следовательно, поскольку разностные операторы коммутируют, коммутируют и операторы в частных производных а также , как утверждается. [20] [21] [22] [23] [24]
Замечание. С помощью двух приложений классической теоремы о среднем значении
для некоторых а также в . Таким образом, первое элементарное доказательство может быть переинтерпретировано с помощью разностных операторов. И наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно было бы использовать классическую теорему о среднем значении.
Доказательство теоремы Клеро с использованием повторных интегралов
Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [ a , b ] × [ c , d ] легко устанавливаются. [25] равномерная непрерывность из F сразу следует , что функции а также непрерывны. [26] Отсюда следует, что
- ;
более того, повторный интеграл сразу становится положительным, если F положительно. [27] Приведенное выше равенство является простым случаем теоремы Фубини , не затрагивающим теорию меры . Титчмарш (1939) прямо доказывает это, используя Риман аппроксимирующие суммы, соответствующие делению прямоугольника на меньшие прямоугольники.
Чтобы доказать теорему Клеро, предположим, что f - дифференцируемая функция на открытом множестве U , для которого существуют и непрерывны смешанные вторые частные производные f yx и f xy . Дважды используя основную теорему исчисления ,
по аналогии
Таким образом, два повторных интеграла равны. С другой стороны, поскольку f xy ( x , y ) непрерывна, второй повторный интеграл может быть выполнен путем сначала интегрирования по x, а затем по y . Но тогда повторный интеграл от f yx - f xy на [ a , b ] × [ c , d ] должен обратиться в нуль. Однако, если повторный интеграл непрерывной функции-функции F равен нулю для всех прямоугольников, то F должен быть тождественно равен нулю; в противном случае F или - F были бы строго положительными в некоторой точке и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно, f yx - f xy должно тождественно обращаться в нуль, так что f yx = f xy всюду. [28] [29] [30] [31] [32]
Достаточность двукратной дифференцируемости
Более слабым условием, чем непрерывность вторых частных производных (что подразумевается последними), которого достаточно для обеспечения симметрии, является то, что все частные производные сами по себе дифференцируемы . [33] Другое усиление теоремы, в котором утверждается существование переставляемой смешанной частичной, было предоставлено Пеано в короткой заметке 1890 года о Матезисе :
- Если определено на открытом множестве ; а также существуют повсюду на ; непрерывно на , и если существует в окрестностях , тогда существует в а также . [34]
Формулировка теории распределения
Теория распределений (обобщенных функций) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производная интегрируемой функции всегда может быть определена как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференцирования распределений возвращает вопрос симметрии к тестовым функциям , которые являются гладкими и определенно удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где f - распределение, записанное как оператор над тестовыми функциями, а φ - тестовая функция),
Другой подход, который определяет преобразование Фурье функции, состоит в том, чтобы отметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно. [18]
Требование преемственности
Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывными ).
Примером несимметрии является функция (из-за Пеано ) [35] [36]
( 1 )
Это можно визуализировать с помощью полярной формы ; он всюду непрерывен, но его производные в (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел разницы коэффициентов показывает, что, поэтому график имеет горизонтальную касательную плоскость в точке (0, 0) , а частные производныесуществуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не являются непрерывными в (0, 0) , и симметрия нарушается. Фактически, по оси x производная y равна, и другие:
В противоположность этому , вдоль у оси х х -производной, и другие . Это,в (0, 0) , хотя смешанные частные производные существуют, и в каждой другой точке симметрия сохраняется.
Вышеупомянутая функция, записанная в цилиндрической системе координат, может быть выражена как
показывая, что функция колеблется четыре раза, когда проходит один раз вокруг произвольно малого цикла, содержащего начало координат. Интуитивно поэтому, локальное поведение функции в (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и, таким образом, матрица Гессе не может быть симметричной.
В общем, обмен ограничивающими операциями не требует коммутации . Учитывая две переменные вблизи (0, 0) и два предельных процесса на
соответствующий сначала сделать h → 0, и сначала сделать k → 0. Это может иметь значение, если посмотреть на условия первого порядка, которые применяются в первую очередь. Это приводит к построению патологических примеров, в которых вторые производные несимметричны. Такого рода пример относится к теории реального анализа, где имеет значение точечное значение функций. Если рассматривать как распределение, значения второй частной производной могут быть изменены в произвольном наборе точек, если это имеет меру Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен всюду, кроме (0, 0) , нет противоречия с тот факт, что гессиан, рассматриваемый как распределение Шварца , является симметричным.
В теории лжи
Рассмотрим дифференциальные операторы первого порядка D i как инфинитезимальные операторы в евклидовом пространстве . То есть, D я в некотором смысле порождает группу , один параметр из сдвигов , параллельная й я Оу. Эти группы коммутируют друг с другом, а значит, и бесконечно малые образующие ; скобка Ли
- [ D i , D j ] = 0
является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.
Приложение к дифференциальным формам
Теорема Клеро-Шварца - ключевой факт, необходимый для доказательства того, что для каждого (или хотя бы дважды дифференцируемая) дифференциальная форма , вторая внешняя производная обращается в нуль: . Отсюда следует, что любая дифференцируемая точная форма (т. Е. Форма такой, что для какой-то формы ) закрыто (т. е.), поскольку . [37]
В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. Е. , где а также - функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро 1739 и 1740 годов. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Формально Клеро показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике закрывается, т.е. , если и только имеет форму для какой-то функции на диске. Решение для можно записать интегральной формулой Коши
в то время как если , закрытое имущество это личность . (На современном языке это одна из версий леммы Пуанкаре .) [38]
Заметки
- ^ "Теорема Юнга" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 18 мая 2006 года . Проверено 2 января 2015 .
- ^ Аллен, RGD (1964). Математический анализ для экономистов . Нью-Йорк: Пресса Св. Мартина. С. 300–305. ISBN 9781443725224.
- ^ Сандифер, К. Эдвард (2007), «Смешанные производные равны» , Ранняя математика Леонарда Эйлера, Vol. 1 , Математическая ассоциация Америки, стр. 142–147, ISBN 9780883855591, сноска: Comm.Acad.Sci.Imp.Petropol. 7 (1734/1735) 1740 , 174–189, 180–183; Опера Омния , 1.22, 34-56.
- ^ Архив Эйлера , поддерживаемый Тихоокеанским университетом.
- ^ Мингуцци, Э. (2015). «Равенство смешанных частных производных при условиях слабой дифференцируемости». Обмен реального анализа . 40 : 81–98. arXiv : 1309,5841 . DOI : 10,14321 / realanalexch.40.1.0081 . S2CID 119315951 .
- ^ Линделёф 1867
- ^ а б Хиггинс, Томас Джеймс (1940). «Заметка об истории смешанных частных производных» . Scripta Mathematica . 7 : 59–62. Архивировано из оригинала на 2017-04-19 . Проверено 19 апреля 2017 года .
- ^ Шварц 1873
- ^ Джеймс, Р. К. (1966). Расширенный расчет . Бельмонт, Калифорния: Уодсворт.
- ^ Burkill 1962 , стр. 154-155
- ^ Апостол 1965
- ^ a b Rudin 1976 harvnb error: несколько целей (2 ×): CITEREFRudin1976 ( справка )
- ^ Хермандер 2015 , стр. 7,11. Этот сокращенный отчет, возможно, самый короткий.
- Перейти ↑ Dieudonné 1960 , pp. 179–180
- ^ Годеман 1998b , стр. 287-289
- ^ Lang 1969 , стр. 108-111
- ↑ Картан, 1971 , стр. 64–67
- ^ a b Их также можно перефразировать в терминах действия операторов на функции Шварца на плоскости. При преобразовании Фурье разностные и дифференциальные операторы являются просто операторами умножения. См. Hörmander (2015) , глава VII.
- ^ Hörmander 2015 , стр. 6
- ^ Hörmander 2015 , стр. 11
- ^ Дьедонне 1960
- ^ Godement 1998a
- ^ Lang 1969
- ^ Картан 1971
- ^ Титчмарш 1939
- ^ Titchmarsh 1939 , стр. 23-25
- ^ Titchmarsh 1938 , стр. 49-50
- Перейти ↑ Spivak 1965 , p. 61
- ^ МакГрат 2014
- ^ Маршалл 2010 . См. Записку Дональда Э. Маршалла.
- ^ Аксой и Мартелли 2002
- ^ Акслер, Шелдон (2020), Измерение, интеграция и реальный анализ , Тексты для выпускников по математике, 282 , Springer, стр. 142–143, ISBN 9783030331436
- ^ Хаббард, Джон; Хаббард, Барбара. Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы (5-е изд.). Matrix Editions. С. 732–733.
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 235–236. ISBN 0-07-054235-X.
- Перейти ↑ Hobson 1921 , pp. 403–404
- ↑ Апостол 1974 , стр. 358–359.
- ^ Ту, Лоринг В. (2010). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7399-3.
- ^ Кац 1981
Рекомендации
- Аксой, А .; Мартелли, M. (2002), "смешанных производных и теоремы Фубини" , колледж математики Журнал MAA , 33 (2): 126-130, DOI : 10,1080 / 07468342.2002.11921930 , S2CID 124561972
- Апостол, Том М. (1974), Математический анализ , Addison-Wesley, ISBN 9780201002881
- Бурбаки, Николя (1952), «Глава III: Mesures sur les espaces localement compacts», Eléments de mathématique, Livre VI: Intégration (на французском языке), Hermann et Cie
- Burkill, JC (1962), Первый курс математического анализа , Cambridge University Press , ISBN 9780521294683 (перепечатано в 1978 г.)
- Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман , ISBN 9780395120330
- Clairaut, AC (1739), "Recherches générales sur le Calcul intégral" , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences : 425–436
- Clairaut, AC (1740), «Sur l'integration ou la построение дифференциальных уравнений первого порядка » , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences , 2 : 293–323
- Дьедонне Дж. (1937), «Sur les fonctions продолжает numérique définies dans une produit de deux espaces compacts», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 205 : 593–595
- Дьедонне, Дж. (1960), Основы современного анализа , чистой и прикладной математики, 10 , Academic Press, ISBN 9780122155505
- Дьедонне, Дж. (1976), Трактат по анализу. Vol. II. , Чистая и прикладная математика, 10-II, перевод И. Г. Макдональда , Academic Press, ISBN 9780122155024
- Гилки, Питер; Пак, Чонхён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I , Синтез лекций по математике и статистике, 15 , Морган и Клейпул, ISBN 9781627056632
- Годеман, Роджер (1998a), Analyze mathématique I (PDF) , Springer
- Годеман, Роджер (1998b), Analyze mathématique II (PDF) , Springer
- Хобсон, EW (1921), Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Vol. I. , Cambridge University Press
- Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье , Classics in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 9783642614972
- Иордания, Камилла (1893), Политехнический курс по анализу экологии. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars) , Издательство Жака Габа]
- Кац, Виктор Дж (1981), "История дифференциальных форм от Клеро к Пуанкаре", Хистория Mathematica , 8 (2): 161-188, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (81) 90027-6
- Лэнг, Серж (1969), настоящий анализ , Addison-Wesley , ISBN 0201041790
- Lindelöf, EL (1867), "Remarques sur les différentes manières d'établir la formule d 2 z / dx dy = d 2 z / dy dx" , Acta Societatis Scientiarum Fennicae , 8 : 205–213
- Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, hdl : 2027 / uc1.b4250788
- Маршалл, Дональд Э. (2010), Неофициальная заметка о теоремах Фубини и Клеро (PDF) , Вашингтонский университет
- МакГрат, Питер Дж. (2014), «Другое доказательство теоремы Клеро», Amer. Математика. Ежемесячно , 121 (2): 165–166, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.121.02.165 , S2CID 12698408
- Нахбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближения , Notas de Matemática, 33 , Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
- Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 007054235X
- Schwarz, HA (1873), «Коммуникация» , Archives des Sciences Physiques et Naturelles , 48 : 38–44.
- Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления , В. А. Бенджамин
- Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF) , Тексты и материалы по математике, 38 , Книжное агентство Hindustan, DOI : 10.1007 / 978-981-10-1804-6 , ISBN 8185931631
- Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press
дальнейшее чтение
- "Частная производная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]