В квантовой механике , то картина взаимодействия (также известная как картина Дирака после Поля Дирака ) является промежуточным представлением между картиной Шредингера и Гейзенбергом . В то время как на двух других изображениях либо вектор состояния, либо операторы несут зависимость от времени, в картине взаимодействия оба несут часть временной зависимости наблюдаемых . [1] Картина взаимодействия полезна при работе с изменениями волновых функций и наблюдаемых из-за взаимодействий. Большинство теоретико-полевых расчетов [2] используют представление взаимодействия, потому что они строят решение уравнения Шредингера для многих тел как решение проблемы свободных частиц плюс некоторые неизвестные части взаимодействия.
Уравнения, которые включают в себя операторы, действующие в разное время, которые выполняются в картине взаимодействия, не обязательно справедливы в картине Шредингера или Гейзенберга. Это связано с тем, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в другом.
Картина взаимодействия - это частный случай унитарного преобразования, применяемого к векторам гамильтониана и состояния.
Определение
Операторы и векторы состояния в картине взаимодействия связаны изменением базиса ( унитарное преобразование ) с теми же операторами и векторами состояния в картине Шредингера.
Чтобы переключиться на картину взаимодействия, мы разделим гамильтониан картины Шредингера на две части:
Любой возможный выбор частей даст достоверную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, части обычно выбираются так, чтобы H 0, S было хорошо понято и точно решаемо, а H 1, S содержало некоторые трудные для анализа возмущения. к этой системе.
Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое изменяется во времени), обычно будет выгодно включить явно зависящие от времени члены с H 1, S , оставляя H 0, S не зависит от времени. Мы продолжаем предполагать, что это так. Если это контекст , в котором оно имеет смысл иметь H 0, S быть в зависимости от времени, то можно продолжить, заменивсоответствующим оператором временной эволюции в определениях ниже.
Векторы состояния
Позволять - зависящий от времени вектор состояния в картине Шредингера. Вектор состояния в картине взаимодействия,, определяется дополнительным зависящим от времени унитарным преобразованием. [3]
Операторы
Оператор в картинке взаимодействия определяется как
Следует отметить , что S ( T ) , как правило , не будет зависеть от т и может быть переписано как только A S . Он зависит от t только в том случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего изменяющегося во времени электрического поля.
Гамильтонов оператор
Оператору Сама картина взаимодействия и картина Шредингера совпадают:
Это легко увидеть по тому факту, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. Затем этот конкретный оператор можно назвать без двусмысленности.
Для гамильтониана возмущения , тем не мение,
где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени, если только [ H 1, S , H 0, S ] = 0.
Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H 0, S ( t ), но экспоненты необходимо заменить унитарным пропагатором для эволюции, порождаемой H 0, S ( t ) или более. явно с упорядоченным по времени экспоненциальным интегралом.
Матрица плотности
Матрица плотности может быть показано , что преобразование к картине взаимодействия таким же образом , как и любой другой оператор. В частности, пусть ρ I и ρ S - матрицы плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера соответственно. Если есть вероятность p n находиться в физическом состоянии | ψ n〉, то
Временная эволюция
Временная эволюция состояний
Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает
который гласит, что в картине взаимодействия квантовое состояние развивается за счет взаимодействия части гамильтониана, как выражено в картине взаимодействия. [4]
Начнем с производной по времени волновой функции картины взаимодействия
Здесь мы используем временную независимость невозмущенного гамильтониана , обратите внимание, что производная экспоненты также немного формально нечеткая, на самом деле она является производной оператора, а не функции
Где мы определяем:
Таким образом, вкратце:
Важно отметить, что это доказательство действительно также в том случае, если и где возмущение может зависеть от времени .
Последнее замечание: это справедливо в рамках нерелятивистской квантовой механики, учитывая, что пространство волновой функции картины взаимодействия и пространство волновой функции картины Шредингера унитарно эквивалентны, т. Е. Правило определения гамильтониана во взаимодействии картинка типа где U унитарно, т.е. эвристически два пространства в этом контексте изоморфны. Это неверно в релятивистском случае, и это изучается в теореме Хаага .
Временная эволюция операторов
Если оператор A S не зависит от времени (т. Е. Не имеет «явной зависимости от времени»; см. Выше), то соответствующая временная эволюция для A I ( t ) определяется выражением
В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени, как операторы в картине Гейзенберга с гамильтонианом H ' = H 0 .
Временная эволюция матрицы плотности
Эволюция матрицы плотности в картине взаимодействия:
в соответствии с уравнением Шредингера в картине взаимодействия.
Ожидание ценности
Для обычного оператора , математическое ожидание в картине взаимодействия определяется выражением
Используя выражение матрицы плотности для математического ожидания, мы получим
Уравнение Швингера-Томонаги
Термин «представление взаимодействия» был изобретен Швингером [6] [7]. В этом новом смешанном представлении вектор состояния больше не является постоянным в целом, но он постоянен, если нет связи между полями. Изменение представления приводит непосредственно к уравнению Томонага-Швингера: [8] [7]
Где гамильтониан в этом случае является гамильтонианом взаимодействия КЭД, но он также может быть типичным взаимодействием, и представляет собой пространственно-подобную поверхность, проходящую через точку . Производная формально представляет собой вариацию на этой поверхности с учетомфиксированный. Трудно дать точную математическую формальную интерпретацию этого уравнения. [9]
Этот подход Швингер назвал дифференциально-полевым подходом в отличие от интегрального и частичного подхода диаграмм Фейнмана. [10]
Основная идея состоит в том, что если взаимодействие имеет небольшую константу связи (т.е. в случае электромагнетизма порядка постоянной тонкой структуры), последовательные пертурбативные члены будут степенями константы связи и, следовательно, меньшими. [11]
Использовать
Цель картины взаимодействия - переложить всю временную зависимость, обусловленную H 0, на операторы, тем самым позволяя им развиваться свободно, и оставляя только H 1, I для управления временной эволюцией векторов состояния.
Картина взаимодействия удобна при рассмотрении влияния на срок малого взаимодействия, Н 1, S , добавляется к гамильтониану решаемой системы, H 0, S . Используя картину взаимодействия, можно использовать зависимое от времени теории возмущений , чтобы найти эффект H 1, I , [12] : 355ff например, при выводе золотого правила Ферми , [12] : 359-363 или Dyson серии [12] : 355–357 в квантовой теории поля : в 1947 году Синъитиро Томонага и Джулиан Швингер оценили, что ковариантная теория возмущений может быть элегантно сформулирована в картине взаимодействия, поскольку операторы поля могут эволюционировать во времени как свободные поля, даже в наличие взаимодействий, теперь рассматриваемых пертурбативно в таком ряду Дайсона.
Сводное сравнение эволюции на всех картинках
Для не зависящего от времени гамильтониана H S , где H 0, S - свободный гамильтониан,
Эволюция | Изображение ( ) | ||
из: | Гейзенберг | Взаимодействие | Шредингер |
Кетское государство | постоянный | ||
Наблюдаемый | постоянный | ||
Матрица плотности | постоянный |
Рекомендации
- ^ Альберт Мессия (1966). Квантовая механика , Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; Дж. Дж. Сакураи (1994). Современная квантовая механика (Аддисон-Уэсли) ISBN 9780201539295 .
- ^ JW Negele, H. Orland (1988), системы Quantum Многочастичные, ISBN 0738200522 .
- ^ The Interaction Picture , конспекты лекций Нью-Йоркского университета.
- ^ Квантовая теория поля для одаренного любителя, глава 18 - для тех, кто видел, что это называется уравнением Швингера-Томонаги, это не уравнение Швингера-Томонага. Это обобщение уравнения Шредингера на произвольные пространственно-подобные слоения пространства-времени.
- ^ Феттер & Walecka 1971 , стр. 55
- ^ Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, с. 151, ISBN 0-486-60444-6
- ^ а б Швингер, Дж. (1948), "Квантовая электродинамика. I. Ковариантная формулировка". , Physical Review , 74 (10): 1439–1461.
- ^ Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, с. 151 163 170 276, ISBN 0-486-60444-6
- ^ Вакита, Хитоши (1976), "Интегрирование уравнения Томонага-Швингера", Сообщения по математической физике , 50 : 61-68
- ^ Швингер и Фейнман
- ^ Швингер, Дж. (1958), Избранные статьи по квантовой электродинамике , Довер, с. 152, ISBN 0-486-60444-6
- ^ а б в Сакураи, Джей Джей; Наполитано, Джим (2010), Современная квантовая механика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0805382914
- Л. Д. Ландау ; Е.М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) Интернет-копия
- Таунсенд, Джон С. (2000). Современный подход к квантовой механике, 2-е изд . Саусалито, Калифорния: Научные книги университета. ISBN 1-891389-13-0.
Смотрите также
- Обозначение Бра – Кет
- Уравнение Шредингера
- Теорема Хаага