Седенион

Седенионы
Условное обозначение	${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$
Тип	неассоциативная алгебра
Единицы измерения	е 0 , ..., е 15
Мультипликативная идентичность	e 0
Основные свойства	распределительность ассоциативности мощности
Общие системы
${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ Натуральные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ Рациональное число ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ Действительные числа ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ Сложные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ Кватернионы Менее распространенные системы Октонионы ( ) Седенионы ( )${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

В абстрактной алгебре , то sedenions образуют 16- мерной некоммутативную и неассоциативную алгебру над вещественными числами ; они получены путем применения конструкции Кэли-Диксон к октонионам , и как таковые октонионы являются изоморфными к подалгебре из sedenions. В отличие от октонионов седенионы не являются альтернативной алгеброй . Применение конструкции Кэли-Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, иногда называемую 32- ионными или тригинтадуонионами . ^[1] К седенионам можно сколь угодно много раз применять конструкцию Кэли – Диксона.

Термин « седенион» также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов , или алгебра матриц 4 × 4 над действительными числами, или алгебра , изученная Смитом (1995) .

Арифметика [ править ]

Визуализация расширения 4D в кубическом октонионном , ^[2] , показывающую 35 триадах как гиперплоскости через реальную вершину например седенионы данны. Обратите внимание , что единственным исключением является то , что тройка , , не образует гиперплоскость с .${\ displaystyle (е_ {0})}$${\ displaystyle (е_ {1})}$${\ displaystyle (е_ {2})}$${\ displaystyle (е_ {3})}$${\ displaystyle (е_ {0})}$

Как и октонионы , умножение седенионов не коммутативно и не ассоциативно . Но в отличие от октонионов седенионы даже не обладают свойством быть альтернативными . Однако они обладают свойством ассоциативности мощности , которое можно сформулировать так, что для любого элемента x из степень хорошо определена. Они также гибкие .${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\ Displaystyle х ^ {п}}$

Каждый седенионы является линейной комбинацией единичных sedenions , , , , ..., , которые образуют базис в векторном пространстве от sedenions. Каждый седенион можно представить в виде${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle e_ {1}}$${\ displaystyle e_ {2}}$${\ displaystyle e_ {3}}$${\ displaystyle e_ {15}}$

${\ displaystyle x = x_ {0} e_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + \ ldots + x_ {14} e_ {14} + x_ {15} e_ { 15}. \,}$

Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным по сравнению с сложением.

Подобно другим алгебрам, основанным на конструкции Кэли – Диксона , седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Таким образом, они содержат октонионы (сгенерированные с помощью to в таблице ниже) и, следовательно, также кватернионы (сгенерированные с помощью to ), комплексные числа (сгенерированные с помощью и ) и действительные числа (сгенерированные с помощью ).${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle e_ {7}}$${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle e_ {3}}$${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle e_ {1}}$${\ displaystyle e_ {0}}$

У седенионов есть мультипликативный тождественный элемент и мультипликативные обратные, но они не являются алгеброй с делением, потому что у них есть делители нуля . Это означает, что два ненулевых числа можно умножить, чтобы получить ноль: например, ( + ) ( - ). Все гиперкомплексные системы счисления после разделения, основанные на конструкции Кэли – Диксона, содержат делители нуля.${\ displaystyle e_ {0}}$${\ displaystyle e_ {3}}$${\ displaystyle e_ {10}}$${\ displaystyle e_ {6}}$${\ displaystyle e_ {15}}$

Таблица умножения sedenion показана ниже:

Таблица умножения

множитель ${\ displaystyle e_ {j}}$ ${\ displaystyle e_ {i} e_ {j}}$ ${\ displaystyle e_ {0}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ ${\ displaystyle e_ {3}}$ ${\ displaystyle e_ {4}}$ ${\ displaystyle e_ {5}}$ ${\ displaystyle e_ {6}}$ ${\ displaystyle e_ {7}}$ ${\ displaystyle e_ {8}}$ ${\ displaystyle e_ {9}}$ ${\ displaystyle e_ {10}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ умножаемое ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ -${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{15}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{13}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle e_{9}}$ -${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{3}}$ -${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{14}}$ -${\displaystyle e_{13}}$ -${\displaystyle e_{12}}$ ${\displaystyle e_{11}}$ ${\displaystyle e_{10}}$ -${\displaystyle e_{9}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ -${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{6}}$ -${\displaystyle e_{5}}$ -${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ -${\displaystyle e_{1}}$ -${\displaystyle e_{0}}$

Свойства Sedenion [ править ]

Из приведенной выше таблицы мы видим, что:

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.}$

Антиассоциативный [ править ]

Седенионы не являются полностью антиассоциативными. Выберите любые четыре генератора, и . Следующий 5-цикл показывает, что хотя бы одно из этих отношений должно ассоциироваться.${\displaystyle i,j,k}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}$

В частности, в приведенной выше таблице использование и последнее выражение связывает.${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$${\displaystyle e_{8}}$${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Кватернионные подалгебры [ править ]

35 триад, составляющих эту конкретную таблицу умножения седениона, с 7 триадами октонионов, использованных при создании седениона с помощью конструкции Кэли-Диксона, выделены жирным шрифтом:

Бинарные представления индексов этих троек x или до 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2 , 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15 , 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15 }, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}}

Список из 84 наборов делителей нуля { , , , }, где ( + ) ( + ) = 0:${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle e_{b}}$${\displaystyle e_{c}}$${\displaystyle e_{d}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle e_{b}}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle e_{c}}$${\displaystyle e_{d}}$

Приложения [ править ]

Морено (1998) показал, что пространство пар седенионов с нормой один, умножающихся на нуль, гомеоморфно компактной форме исключительной группы Ли G 2 . (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов, которые умножаются до нуля.)

Нейронные сети Sedenion предоставляют средства эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения и использовались для решения множества задач прогнозирования временных рядов. ^[3]

См. Также [ править ]

• Личность Пфистера на шестнадцати квадратах
• Номер гиперкомплекса
• Сплит-комплексное число

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Imaeda, K .; Imaeda, M. (2000), "Sedenions: алгебра и анализ", прикладная математика и вычисления , 115 (2): 77-88, DOI : 10.1016 / S0096-3003 (99) 00140-X , МР  1786945
• Баэз, Джон С. (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math / 0105155 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . Руководство по ремонту  1886087 .
• Biss, Daniel K .; Кристенсен, Дж. Даниэль; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел С. (2007). "Большие аннигиляторы в алгебрах Кэли-Диксона II". Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : math / 0702075 .
• Киньон, МК; Филлипс, JD; Войтеховский, П. (2007). «С-петли: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее приложений . 6 (1): 1–20. arXiv : математика / 0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . DOI : 10.1142 / S0219498807001990 .
• Kivunge, Benard M .; Смит, Джонатан Д. Х (2004). "Подциклы сединений" (PDF) . Комментарий. Математика. Univ. Каролины . 45 (2): 295–302.
• Морено, Гильермо (1998), "Делители нуля алгебр Кэли – Диксона над действительными числами", Бол. Soc. Мат. Mexicana , Series 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg / 9710013 , Bibcode : 1997q.alg .... 10013G , MR  1625585
• Смит, Джонатан DH (1995), "Левый петлю на 15-сферы", журнал алгебры , 176 (1): 128-138, DOI : 10.1006 / jabr.1995.1237 , MR  1345298
• Л.С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Нейронная сеть с метакогнитивным значением Sedenion и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, vol. 8, стр. 144823-144838, 2020 г., DOI : 10.1109 / ACCESS.2020.3014690 .