Теория множеств реальной линии

Теория множеств действительной прямой - это область математики, связанная с применением теории множеств к аспектам действительных чисел .

Например, известно, что все счетные множества действительных чисел равны нулю , т. Е. Имеют меру Лебега 0; поэтому можно задать вопрос о наименьшем возможном размере множества, которое не является нулевым по Лебегу. Этот инвариант называется равномерностью идеала нулевых множеств, обозначается . Есть много таких инвариантов, связанных с этим и другими идеалами, например, идеал скудных множеств, плюс другие, которые не имеют характеристики в терминах идеалов. Если гипотеза континуума (CH) верна, то все такие инварианты равны , наименьшему несчетному кардиналу . Например, мы знаем, что бесчисленное множество ${\ displaystyle non ({\ mathcal {N}})}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle non ({\ mathcal {N}})}$ , но, будучи размером с набор реалов под CH, он может быть не больше . ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

С другой стороны, если исходить из аксиомы Мартина (МА) все общие инварианты «большие», что равно , по мощности континуума . Аксиома Мартина согласуется с . Фактически, следует рассматривать аксиому Мартина как аксиому принуждения, которая отрицает необходимость выполнения определенных форсингов определенного класса (удовлетворяющих ccc , поскольку согласованность MA с большим континуумом доказывается выполнением всех таких форсингов (до определенного размера показано, что достаточно) .Каждый инвариант может быть увеличен с помощью некоторого принуждения ccc, таким образом, каждый из них будет большим с данной MA. ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}> \ aleph _ {1}}$

Если ограничиться определенными форсингами, некоторые инварианты станут большими, а другие останутся маленькими. Анализ этих эффектов - основная работа в этой области, направленная на определение того, какие неравенства между инвариантами доказуемы, а какие несовместимы с ZFC. Неравенства между идеалами меры (нулевые множества) и категории (скудные множества) отражены в диаграмме Чишона . Семнадцать моделей (вынуждающих конструкций) были созданы в течение 1980-х годов, начиная с работ Арнольда Миллера, чтобы продемонстрировать, что никакие другие неравенства не являются доказуемыми. Они подробно анализируются в книге Томека Бартошинского и Хаима Джуда, двух видных деятелей в этой области.

Один любопытный результат состоит в том, что если вы можете покрыть реальную строку скудными наборами (где ), то ; и наоборот, если вы можете покрыть реальную строку нулевыми наборами, то наименьший не скудный набор будет иметь размер как минимум ; оба эти результата вытекают из существования разложения как объединения скудного множества и нулевого множества. ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ Алеф _ {1} \ leq \ kappa \ leq {\ mathfrak {c}}}$ ${\ Displaystyle нон ({\ mathcal {N}}) \ geq \ kappa}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Одной из последних больших нерешенных проблем области была согласованность

{\ displaystyle {\ mathfrak {d}} <{\ mathfrak {a}},}

доказано в 1998 году Сахароном Шелахом .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Бартошинский, Томек и Иуда, Хаим Теория множеств: О структуре действительной прямой А. К. Петерс Лтд. (1995). ISBN 1-56881-044-X
Миллер, Арнольд Некоторые свойства меры и категорийные транзакции Американского математического общества, 266 (1): 93-114, (1981)