Функция расстояния со знаком
В математике и ее приложениях функция расстояния со знаком (или функция ориентированного расстояния ) множества Ω в метрическом пространстве определяет расстояние данной точки x от границы Ω, причем знак определяется тем, находится ли x в Ω. Функция имеет положительные значения в точках x внутри Ω, она уменьшается по значению по мере приближения x к границе Ω, где функция расстояния со знаком равна нулю, и принимает отрицательные значения вне Ω. [1]Однако иногда вместо этого используется альтернативное соглашение (т. Е. Отрицательное внутри Ω и положительное снаружи). [2]
Если Ω является подмножеством метрического пространства X с метрикой d , то функция расстояния со знаком f определяется формулой
где обозначает границу . _ Для любого ,
Если Ω — подмножество евклидова пространства Rn с кусочно - гладкой границей, то функция расстояния со знаком дифференцируема почти всюду и ее градиент удовлетворяет уравнению эйконала
Если граница Ω есть C k для k ≥ 2 (см. Классы дифференцируемости ), то d есть C k в точках, достаточно близких к границе Ω. [3] В частности, на границе f выполняется
где N — внутреннее нормальное векторное поле. Таким образом, функция расстояния со знаком является дифференцируемым расширением нормального векторного поля. В частности, гессиан функции расстояния со знаком на границе Ω дает отображение Вайнгартена .
