Закон Снеллиуса (также известный как закон Снеллиуса-Декарта и закон преломления ) - это формула, используемая для описания взаимосвязи между углами падения и преломления , когда речь идет о свете или других волнах, проходящих через границу между двумя разными изотропными средами , такими как как вода, стакан или воздух.
В оптике закон используется при трассировке лучей для вычисления углов падения или преломления, а в экспериментальной оптике - для определения показателя преломления материала. Закон также выполняется в метаматериалах , которые позволяют свету отклоняться «назад» под отрицательным углом преломления с отрицательным показателем преломления .
Закон Снеллиуса гласит, что отношение синусов углов падения и преломления эквивалентно отношению фазовых скоростей в двух средах или эквивалентно обратной величине отношения показателей преломления :
с каждым как угол, отсчитываемый от нормали к границе, как скорость света в соответствующей среде (единицы СИ - метры в секунду или м / с), и как показатель преломления (безразмерный) соответствующей среды.
Закон следует из Ферма «ы принципа наименьшего времени , что в свою очередь вытекает из распространения света в виде волн.
История
Птолемей в Александрии , Египет [1] обнаружил связь относительно углов преломления, но она была неточной для углов, которые не были малыми. Птолемей был уверен, что нашел точный эмпирический закон, частично в результате небольшого изменения своих данных в соответствии с теорией (см. Систематическая ошибка подтверждения ). [2] Альхазен в своей « Книге оптики» (1021) приблизился к открытию закона преломления, хотя и не сделал этого. [3]
Закон, названный в конце концов в честь Снелла, был впервые точно описан персидским ученым Ибн Салом в суде Багдада в 984 году. В рукописи « Горящие зеркала и линзы» Саль использовал этот закон для получения формы линз, фокусирующих свет без геометрических аберраций. [5]
Закон был заново открыт Томасом Харриотом в 1602 г. [6], который, однако, не опубликовал свои результаты, хотя и вел переписку с Кеплером по этому поводу. В 1621 году голландский астроном Виллеброрд Снеллиус (1580–1626) - Снелл - вывел математически эквивалентную форму, которая оставалась неопубликованной при его жизни. Рене Декарт независимо вывел закон, используя эвристические аргументы сохранения импульса в терминах синусов в своем эссе « Диоптрика» 1637 года , и использовал его для решения ряда оптических проблем. Отвергнув решение Декарта, Пьер де Ферма пришел к тому же решению, основываясь исключительно на своем принципе наименьшего времени . Декарт предполагал, что скорость света бесконечна, но при выводе закона Снеллиуса он также предполагал, что чем плотнее среда, тем больше скорость света. Ферма поддерживал противоположные предположения, т. Е. Скорость света конечна, и его вывод зависел от того, что скорость света меньше в более плотной среде. [7] [8] Вывод Ферма также использовал его изобретение адекватности , математическую процедуру, эквивалентную дифференциальному исчислению, для нахождения максимумов, минимумов и касательных. [9] [10]
В своей влиятельной книге по математике « Геометрия» Декарт решает проблему, над которой работали Аполлоний Пергский и Папп Александрийский . Даны n прямых L и точка P (L) на каждой прямой, найдите геометрическое место точек Q такое, что длины отрезков QP (L) удовлетворяют определенным условиям. Например, когда n = 4, учитывая прямые a, b, c и d и точку A на a, B на b и т. Д., Найдите геометрическое место точек Q, такое, что произведение QA * QB равно произведению КК * КД. Когда не все прямые параллельны, Папп показал, что локусы являются коническими, но когда Декарт рассмотрел большее n, он получил кубические кривые и кривые более высокой степени. Чтобы показать, что кубические кривые интересны, он показал, что они естественным образом возникли в оптике из закона Снеллиуса. [11]
Согласно Дейкстерхуису [12], «В De natura lucis et proprietate (1662) Исаак Воссиус сказал, что Декарт видел статью Снеллиуса и придумал собственное доказательство. Теперь мы знаем, что это обвинение незаслуженно, но с тех пор оно неоднократно принималось». И Ферма, и Гюйгенс повторили обвинение Декарта в копировании Снелла. По- французски закон Снеллиуса называется «la loi de Descartes» или «loi de Snell-Descartes».
В 1678 Traité де ла Люмьер , Христиан Гюйгенс показал , как закон Снеллиуса синусов можно объяснить, или полученный из, волновой природы света, используя то , что мы пришли назвать принцип Гюйгенса-Френеля .
С развитием современной оптической и электромагнитной теории древний закон Снеллиуса перешел на новую стадию. В 1962 году Бломберген показал, что на границе нелинейной среды закон Снеллиуса должен быть записан в общем виде. [13] В 2008 и 2011 годах также было продемонстрировано , что плазмонные метаповерхности изменяют направления отражения и преломления светового луча. [14] [15]
Объяснение
Закон Снеллиуса используется для определения направления световых лучей через преломляющие среды с различными показателями преломления. Показатели преломления сред, обозначенные, и так далее, используются для обозначения коэффициента, на который уменьшается скорость светового луча при прохождении через преломляющую среду, такую как стекло или вода, в отличие от его скорости в вакууме.
Когда свет проходит границу между средами, в зависимости от относительных показателей преломления двух сред, свет будет преломляться либо на меньший, либо на больший угол. Эти углы измеряются относительно нормальной линии , представленной перпендикулярно границе. В случае перехода света из воздуха в воду, свет будет преломляться по направлению к нормальной линии, потому что в воде свет замедляется; свет, переходящий из воды в воздух, преломлялся бы от нормальной линии.
Преломление между двумя поверхностями также называется обратимым, потому что если бы все условия были идентичны, углы были бы одинаковыми для света, распространяющегося в противоположном направлении.
Закон Снеллиуса обычно справедлив только для изотропных или зеркальных сред (таких как стекло ). В анизотропных средах, таких как некоторые кристаллы , двулучепреломление может разделить преломленный луч на два луча: обычный или o- луч, который следует закону Снеллиуса, и другой необычный или e- луч, который может не быть копланарным падающему лучу.
Когда свет или другая волна является монохроматической, то есть одной частоты, закон Снеллиуса также может быть выражен в терминах отношения длин волн в двух средах: а также :
Выводы и формулы
Закон Снеллиуса можно вывести разными способами.
Вывод из принципа Ферма
Закон Снеллиуса может быть выведен из принципа Ферма , который гласит, что свет проходит путь, который занимает наименьшее время. Взяв производную от длины оптического пути , находится стационарная точка , определяющая путь, пройденный светом. (Есть ситуации, когда свет нарушает принцип Ферма, не выбирая наименьшего временного пути, как при отражении в (сферическом) зеркале.) В классической аналогии область с более низким показателем преломления заменяется пляжем, областью с более высоким коэффициентом преломления. индекс у моря, и самый быстрый способ для спасателя на пляже добраться до тонущего в море - это бежать по тропе, которая следует закону Снеллиуса.
Как показано на рисунке справа, предположим, что показатели преломления среды 1 и среды 2 равны а также соответственно. Свет входит в среду 2 из среды 1 через точку O.
угол падения, - угол преломления относительно нормали.
Фазовые скорости света в среде 1 и среде 2 равны
- а также
- соответственно.
это скорость света в вакууме.
Пусть T - время, необходимое свету, чтобы пройти из точки Q через точку O в точку P.
где a, b, l и x обозначены на правом рисунке, где x - изменяющийся параметр.
Чтобы его минимизировать, можно выделить:
- (стационарная точка)
Обратите внимание, что
а также
Следовательно,
Вывод из принципа Гюйгенса
В качестве альтернативы, закон Снеллиуса может быть получен с использованием интерференции всех возможных путей световой волны от источника к наблюдателю - это приводит к деструктивной интерференции везде, кроме экстремумов фазы (где интерференция конструктивна), которые становятся реальными путями.
Вывод из уравнений Максвелла.
Другой способ закона Dérivé Снелл предполагает применение общих граничных условий из уравнений Максвелла для электромагнитного излучения .
Вывод из закона сохранения энергии и импульса
Еще один способ вывести закон Снеллиуса основан на соображениях симметрии трансляции. [16] Например, однородная поверхность, перпендикулярная направлению z, не может изменить поперечный импульс. Поскольку вектор распространения пропорциональна импульсу фотона, поперечное направление распространения должны оставаться одинаковыми в обоих регионах. Без ограничения общности предположим, что плоскость падения самолет . Используя хорошо известную зависимость волнового числа от показателя преломления среды, мы сразу выводим закон Снеллиуса.
где - волновое число в вакууме. Хотя никакая поверхность не является по-настоящему однородной в атомном масштабе, полная трансляционная симметрия является отличным приближением, когда область однородна в масштабе длины световой волны.
Векторная форма
Учитывая нормализованный световой вектор (направленный от источника света к поверхности) и нормализованный вектор нормали плоскости , можно вычислить нормализованные отраженные и преломленные лучи через косинусы угла падения и угол преломления , без явного использования значений синуса или каких-либо тригонометрических функций или углов: [17]
Примечание: должно быть положительным, что будет, если - вектор нормали, который указывает от поверхности в сторону, откуда исходит свет, область с индексом . Если отрицательно, тогда указывает в сторону без света, поэтому начните с заменен его отрицательным.
Этот вектор направления отражения указывает обратно на сторону поверхности, откуда исходит свет.
Теперь примените закон Снеллиуса к соотношению синусов, чтобы получить формулу вектора направления преломленного луча:
Формула может показаться более простой с точки зрения переименованных простых значений. а также , избегая появления имен триггерных функций или углов:
Пример:
Значения косинуса могут быть сохранены и использованы в уравнениях Френеля для определения интенсивности результирующих лучей.
Полное внутреннее отражение обозначается отрицательным корнем в уравнении для, что может произойти только при переходе лучей в менее плотную среду ().
Полное внутреннее отражение и критический угол
Когда свет проходит от среды с более высоким показателем преломления к среде с более низким показателем преломления, закон Снеллиуса, по-видимому, требует в некоторых случаях (когда угол падения достаточно велик), чтобы синус угла преломления был больше единицы. Это, конечно, невозможно, и свет в таких случаях полностью отражается границей - явление, известное как полное внутреннее отражение . Максимально возможный угол падения, который все еще приводит к преломлению луча, называется критическим углом ; в этом случае преломленный луч проходит по границе между двумя средами.
Например, рассмотрим луч света, движущийся из воды в воздух под углом падения 50 °. Показатели преломления воды и воздуха составляют примерно 1,333 и 1 соответственно, поэтому закон Снеллиуса дает нам соотношение
что невозможно удовлетворить. Критический угол θкрит - это значение θ 1, для которого θ 2 равен 90 °:
Дисперсия
Во многих средах распространения волн скорость волны изменяется в зависимости от частоты или длины волны; это верно для распространения света в большинстве прозрачных веществ, кроме вакуума. Эти среды называют дисперсионными. В результате углы, определяемые законом Снеллиуса, также зависят от частоты или длины волны, так что луч со смешанной длиной волны, такой как белый свет, будет распространяться или рассеиваться. Такое рассеивание света в стекле или воде лежит в основе возникновения радуги и других оптических явлений , в которых разные длины волн проявляются как разные цвета.
В оптических приборах дисперсия приводит к хроматической аберрации ; цветозависимое размытие, которое иногда ограничивает разрешение. Это было особенно актуально для преломляющих телескопов до изобретения ахроматических линз объектива.
Медиафайлы с потерями, поглощающие или проводящие
В проводящей среде диэлектрическая проницаемость и показатель преломления являются комплексными. Следовательно, таковы угол преломления и волновой вектор. Это означает, что, в то время как поверхности постоянной реальной фазы представляют собой плоскости, нормали которых составляют угол, равный углу преломления с нормалью к границе раздела, поверхности с постоянной амплитудой, напротив, являются плоскостями, параллельными самой границе раздела. Поскольку эти две плоскости в общем случае не совпадают, волна называется неоднородной. [18] преломленная волна экспоненциально затухает, причем показатель степени пропорционален мнимой составляющей показателя преломления. [19] [20]
Смотрите также
- Список показателей преломления
- Показатель преломления в зависимости от длины волны света
- Неувядающая волна
- Отражение (физика) - изменение направления волнового фронта на границе между двумя разными средами, так что волновой фронт возвращается в среду, из которой он возник.
- Окно Снеллиуса - Подводное явление из-за закона Снеллиуса
- Вариационное исчисление - Дифференциальное исчисление на функциональных пространствах (например, пространствах кривых и т. Д.)
- Кривая брахистохрона - Кривая самого быстрого спуска для простого доказательства Якоба Бернулли
- Гамильтонова оптика
- Расчет ослабления радиоволн в атмосфере
- N-щелевое интерферометрическое уравнение
Рекомендации
- ^ Дэвид Майкл Харланд (2007). « Кассини на Сатурне: результаты Гюйгенса ». стр.1. ISBN 0-387-26129-X
- ^ «Птолемей (ок. 100 - ок. 170)» . Мир научной биографии Эрика Вайнштейна .
- ^ А.И. Сабра (1981), Теории света от Декарта до Ньютона , Cambridge University Press . ( см. Павлос Михас, Использование истории в развитии идей преломления, линз и радуги , стр. 5, Университет Демокрита, Фракия , Греция .)
- ^ Уильям Уэвелл, История индуктивной науки с древнейших времен до наших дней , Лондон: Джон Х. Паркер, 1837.
- ^ Рашед, Рошди (1990). «Пионер анакластики: Ибн Саль о горящих зеркалах и линзах». Исида . 81 (3): 464–491. DOI : 10.1086 / 355456 . S2CID 144361526 .[ оспаривается ] [ требуется разъяснение ]
- ^ Kwan, A .; Дадли, Дж .; Ланц, Э. (2002). «Кто на самом деле открыл закон Снеллиуса?». Мир физики . 15 (4): 64. DOI : 10,1088 / 2058-7058 / 15/4/44 .
- ^ Флориан Каджори , История физики в ее элементарных отраслях: включая эволюцию физических лабораторий (1922)
- ^ Фердинанд Розенбергер, Geschichte der Physik (1882), часть. II, стр.114
- ↑ Карл Бенджамин Бойер , Радуга: от мифа к математике (1959)
- ↑ Флориан Каджори , «Кто был первым изобретателем исчисления», The American Mathematical Monthly (1919) Vol.26
- ↑ Геометрия Рене Декарта (Дуврские книги по математике) Рене Декарта, Дэвида Юджина Смита и Марсии Л. Латам (1 июня 1954 г.).
- ^ Дейкстерхейс, Фокко Ян (2004). Линзы и волны: Христиан Гюйгенс и математическая наука об оптике в семнадцатом веке . Springer. ISBN 1-4020-2697-8.
- ^ Bloembergen, N .; Першан П.С. (1962). «Световые волны на границе нелинейных сред» (PDF) . Физический обзор . 128 (2): 606. Полномочный код : 1962PhRv..128..606B . DOI : 10.1103 / PhysRev.128.606 . hdl : 1874/7432 .
- ^ Xu, T .; и другие. (2008). «Плазмонный дефлектор» . Опт. Экспресс . 16 (7): 4753–9. Bibcode : 2008OExpr..16.4753X . DOI : 10.1364 / oe.16.004753 . PMID 18542573 .
- ^ Ю, Нанфан; Женевета, Патрис; Кац, Михаил А .; Айета, Франческо; Тетьен, Жан-Филипп; Капассо, Федерико; Габурро, Зено (октябрь 2011 г.). «Распространение света с разрывами фаз: обобщенные законы отражения и преломления» . Наука . 334 (6054): 333–7. Bibcode : 2011Sci ... 334..333Y . DOI : 10.1126 / science.1210713 . PMID 21885733 . S2CID 10156200 .
- ^ Иоаннопулос, Джон Д.; Джонсон, С. Г.; Winn, JN; Мид, RD (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12456-8.
- ^ Гласснер, Эндрю С. (1989). Введение в трассировку лучей . Морган Кауфманн. ISBN 0-12-286160-4.
- ^ Борн и Вольф, раздел 13.2, "Преломление и отражение от металлической поверхности"
- ^ Хехт, Оптика , сек. 4.8, Оптические свойства металлов.
- ^ SJ Орфанидис, Электромагнитные волны и антенны , сек. 7.9, Косое падение на неплотной среде, [1]
Внешние ссылки
- Ибн Сахль и закон Снеллиуса
- Открытие закона преломления
- Закон преломления Снеллиуса (волновые фронты) Тодда Роуленда, Wolfram Demonstrations Project
- Закон Снеллиуса на стене в центре Лейдена
- Эффект береговой линии
- [2]