Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Спектральный анализ формы зависит от спектра ( собственных значений и / или собственных ) от оператора Лапласа-Бельтрами для сравнения и анализа геометрических фигур. Поскольку спектр оператора Лапласа – Бельтрами инвариантен относительно изометрий , он хорошо подходит для анализа или восстановления нежестких форм, т. Е. Изгибаемых объектов, таких как люди, животные, растения и т. Д.

Лаплас [ править ]

Оператор Лапласа – Бельтрами используется во многих важных дифференциальных уравнениях, таких как уравнение теплопроводности и волновое уравнение . Она может быть определена на риманова многообразия как дивергенции от градиента от вещественной функции F :

Его спектральные компоненты могут быть вычислены путем решения уравнения Гельмгольца (или задачи на собственные значения Лапласа):

Решениями являются собственные функции (моды) и соответствующие собственные значения , представляющие расходящуюся последовательность положительных действительных чисел. Первое собственное значение равно нулю для замкнутых областей или при использовании граничного условия Неймана . Для некоторых форм спектр можно вычислить аналитически (например, прямоугольник, плоский тор, цилиндр, диск или сфера). Например, для сферы собственными функциями являются сферические гармоники .

Наиболее важные свойства собственных значений и собственных функций заключаются в том, что они являются инвариантами изометрии. Другими словами, если форма не растянута (например, лист бумаги согнут в третьем измерении), спектральные значения не изменятся. Сгибаемые объекты, такие как животные, растения и люди, могут принимать разные позы с минимальным растяжением суставов. Полученные формы называются почти изометрическими, и их можно сравнить с помощью спектрального анализа формы.

Дискретизация [ править ]

Геометрические формы часто представлены как двумерные криволинейные поверхности, двумерные поверхностные сетки (обычно треугольные сетки ) или трехмерные твердые объекты (например, с использованием вокселей или тетраэдрических сеток). Уравнение Гельмгольца может быть решено для всех этих случаев. Если существует граница, например квадрат, или объем любой трехмерной геометрической формы, необходимо указать граничные условия.

Существует несколько дискретизаций оператора Лапласа (см. Дискретный оператор Лапласа ) для различных типов геометрических представлений. Многие из этих операторов плохо аппроксимируют основной непрерывный оператор.

Дескрипторы спектральной формы [ править ]

ShapeDNA и ее варианты [ править ]

ShapeDNA - один из первых дескрипторов формы спектра. Это нормализованная начальная последовательность собственных значений оператора Лапласа – Бельтрами. [1] [2] Его основными преимуществами являются простое представление (вектор чисел) и сравнение, масштабная инвариантность и, несмотря на свою простоту, очень хорошие характеристики для восстановления формы нежестких форм. [3] В число конкурентов shapeDNA входят сингулярные значения матрицы геодезических расстояний (SD-GDM) [4] и уменьшенной бигармонической матрицы расстояний (R-BiHDM). [5] Однако собственные значения являются глобальными дескрипторами, поэтому shapeDNA и другие глобальные спектральные дескрипторы не могут использоваться для локального или частичного анализа формы.

Сигнатура глобальной точки (GPS) [ править ]

Сигнатура глобальной точки [6] в точке представляет собой вектор масштабированных собственных функций оператора Лапласа – Бельтрами, вычисленных в точке (т. Е. Спектральное вложение формы). GPS - это глобальная функция в том смысле, что ее нельзя использовать для частичного согласования формы.

Подпись теплового ядра (HKS) [ править ]

Сигнатура теплового ядра [7] использует собственное разложение теплового ядра :

Для каждой точки на поверхности диагональ теплового ядра снимается в определенные значения времени и дает локальную сигнатуру, которая также может использоваться для частичного совпадения или обнаружения симметрии.

Подпись ядра волны (WKS) [ править ]

WKS [8] следует той же идее, что и HKS, заменяя уравнение теплопроводности волновым уравнением Шредингера.

Улучшенная сигнатура волнового ядра (IWKS) [ править ]

IWKS [9] улучшает WKS для восстановления нежесткой формы, вводя новую функцию масштабирования для собственных значений и объединяя новый член кривизны.

Вейвлет-сигнатура на спектральном графике (SGWS) [ править ]

SGWS - это локальный дескриптор, который не только изометрически инвариантен, но и компактен, прост в вычислении и сочетает в себе преимущества полосовых и низкочастотных фильтров. Важным аспектом SGWS является возможность объединить преимущества WKS и HKS в единую подпись, обеспечивая при этом представление форм с несколькими разрешениями. [10]

Spectral Matching [ править ]

Спектральное разложение лапласиана графа, связанного со сложными формами (см. Дискретный оператор Лапласа ), обеспечивает собственные функции (моды), которые инвариантны к изометриям. Каждая вершина формы может быть уникально представлена ​​комбинациями собственных модальных значений в каждой точке, иногда называемых спектральными координатами:

Спектральное сопоставление состоит в установлении соответствия точек путем объединения вершин на разных фигурах, которые имеют наиболее похожие спектральные координаты. Ранние работы [11] [12] [13] были сосредоточены на разреженных соответствиях для стереоскопии. Вычислительная эффективность теперь обеспечивает плотные соответствия на полных сетках, например, между корковыми поверхностями. [14] Спектральное согласование также может использоваться для сложной нежесткой регистрации изображений , что особенно сложно, когда изображения имеют очень большие деформации. [15] Такие методы регистрации изображений, основанные на спектральных собственных модальных значениях, действительно позволяют характеристики формы и контраст с обычными нежесткими методами совмещения изображений, которые часто основаны на локальных характеристиках формы (например, градиентах изображения).

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Reuter, M. и Wolter, F.-E. и Пайнеке, Н. (2005). «Спектры Лапласа как отпечатки пальцев для согласования формы». Труды Симпозиума ACM 2005 г. по твердотельному и физическому моделированию . С. 101–106. DOI : 10.1145 / 1060244.1060256 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  2. ↑ Reuter, M. и Wolter, F.-E. и Пайнеке, Н. (2006). «Спектры Лапласа – Бельтрами как форма ДНК поверхностей и твердых тел». Компьютерный дизайн . 38 (4): 342–366. DOI : 10.1016 / j.cad.2005.10.011 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. ^ Lian, Z .; и другие. (2011). «Трек SHREC'11: восстановление формы на нежестких трехмерных водонепроницаемых сетках». Материалы семинара Eurographics 2011 по поиску трехмерных объектов (3DOR'11) . С. 79–88. DOI : 10.2312 / 3DOR / 3DOR11 / 079-088 .
  4. ^ Смитс, Дирк; Фабри, Томас; Германс, Йерун; Вандермейлен, Дирк; Суэтенс, Пол (2009). «Моделирование изометрической деформации для распознавания объектов». Компьютерный анализ изображений и паттернов . Конспект лекций по информатике. 5702 . С. 757–765. Bibcode : 2009LNCS.5702..757S . DOI : 10.1007 / 978-3-642-03767-2_92 . ISBN 978-3-642-03766-5.
  5. Перейти ↑ Ye, J. & Yu, Y. (2015). «Быстрое преобразование модального пространства для надежного извлечения нежесткой формы». Визуальный компьютер, Springer . 32 (5): 553. DOI : 10.1007 / s00371-015-1071-5 . ЛВП : 10722/215522 .
  6. ↑ Рустамов, RM (4 июля 2007 г.). «Собственные функции Лапласа – Бельтрами для представления формы, инвариантной к деформации». Материалы пятого симпозиума Eurographics по обработке геометрии . Еврографическая ассоциация. С. 225–233. ISBN 978-3-905673-46-3.
  7. ^ ВС, Дж и Ovsjanikov, М. и Guibas, Л. (2009). «Краткая и доказуемо информативная многомасштабная подпись, основанная на диффузии тепла». Форум компьютерной графики . 28 . С. 1383–1392. DOI : 10.1111 / j.1467-8659.2009.01515.x .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  8. Перейти ↑ Aubry, M., Schlickewei, U. and Cremers D. (2011). «Сигнатура волнового ядра: квантово-механический подход к анализу формы». Computer Vision Семинары (ICCV семинары), 2011 IEEE Международная конференция по . С. 1626–1633. DOI : 10.1109 / ICCVW.2011.6130444 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  9. ^ Limberger, FA & Wilson, RC (2015). «Кодирование характеристик спектральных сигнатур для извлечения трехмерных нежестких форм». Труды Британской конференции по машинному зрению (BMVC) . С. 56.1–56.13. DOI : 10.5244 / C.29.56 .
  10. ^ Масуми Маджид; Ли, Чуньюань; Бен Хамза, А (2016). «Спектральный подход вейвлета графа для нежесткого восстановления трехмерной формы». Письма о распознавании образов . 83 : 339–48. DOI : 10.1016 / j.patrec.2016.04.009 .
  11. ^ Umeyama, S (1988). «Подход собственной декомпозиции к задачам сопоставления взвешенных графов». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 10 (5): 695–703. DOI : 10.1109 / 34.6778 .
  12. ^ Скотт, GL и Лонге-Хиггинс, ХК (1991). «Алгоритм сопоставления признаков двух изображений». Труды Лондонского королевского общества. Серия B: Биологические науки . 244 (1309): 21–26. Bibcode : 1991RSPSB.244 ... 21S . DOI : 10,1098 / rspb.1991.0045 . PMID 1677192 . 
  13. Перейти ↑ Shapiro, LS & Brady, JM (1992). «Соответствие на основе признаков: подход собственных векторов». Вычисления изображений и зрения . 10 (5): 283–288. DOI : 10.1016 / 0262-8856 (92) 90043-3 .
  14. ^ Lombaert, H и Grady, L и Polimeni, JR и Cheriet, F (2013). «FOCUSR: Соответствие, ориентированное на признаки с использованием спектральной регуляризации - метод точного согласования поверхностей» . IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 35 (9): 2143–2160. DOI : 10.1109 / tpami.2012.276 . PMC 3707975 . PMID 23868776 .  CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  15. ^ Lombaert, H и Grady, L и Pennec, X и Ayache, N и Cheriet, F (2014). «Спектральные лог-демоны - регистрация диффеоморфных изображений с очень большими деформациями». Международный журнал компьютерного зрения . 107 (3): 254–271. CiteSeerX 10.1.1.649.9395 . DOI : 10.1007 / s11263-013-0681-5 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)