Сферическое среднее

Среднее сферическое значение функции (показано красным) - это среднее значение (вверху, синим цветом) на «сфере» заданного радиуса вокруг заданной точки (внизу, синим цветом).

{\ displaystyle u}

{\ Displaystyle и (у)}

{\ displaystyle y}

В математике , то сферическое среднее из функции вокруг точки является средним значением всех значений этой функции на сфере заданного радиуса с центром в этой точке.

Определение [ править ]

Рассмотрим открытое множество U в евклидовом пространстве R ⁿ и непрерывную функцию u, определенную на U с действительными или комплексными значениями. Пусть й точка в U и г > 0 таково , что замкнутый шар В ( х , г ) от центра х и радиуса г содержатся в U . Сферическое среднее по сфере радиуса г с центром в точке х определяется как

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {n-1} (r)}} \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! u (y) \, \ mathrm {d } S (y)}

где ∂ В ( х , г ) является ( п - 1) -сфер образующей границы из B ( х , г ), D S обозначает интегрирование по отношению к сферической мере и со _{п -1} ( г ) является «площадь поверхности "этой ( n - 1) -сферы.

Эквивалентно сферическое среднее определяется как

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {n-1}}} \ int \ limits _ {\ | y \ | = 1} \! u (x + ry) \, \ mathrm {d} S (y)}

где ω _{n −1} - площадь ( n - 1) -сферы радиуса 1.

Среднее сферическое значение часто обозначают как

{\ displaystyle \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \, u (y) \, \ mathrm {d} S (y).}

Сферическое среднее также естественным образом определяется для римановых многообразий.

Свойства и использование [ править ]

Из непрерывности следует, что функция ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle r \ to \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \, u (y) \, \ mathrm {d} S (y)}

непрерывно, и что его предел как есть

{\ displaystyle r \ to 0}

{\ Displaystyle и (х).}

Сферические средства могут быть использованы для решения задачи Коши для волнового уравнения в нечетной пространственной размерности. Результат, известный как формула Кирхгофа, получается с помощью сферических средств для сведения волнового уравнения в (для нечетного ) к волновому уравнению в , а затем с использованием формулы Даламбера . Само выражение представлено в статье волнового уравнения . ${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} u = c ^ {2} \, \ Delta u}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Если это открытое множество в и является С ² функция , определенная на , то есть гармоническое тогда и только тогда , когда для всех в и все такое , что замкнутый шар содержится в одном есть ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle u}$ $x$ $U$ $r>0$ $B(x,r)$ $U$

u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).

Этот результат может быть использован для доказательства принципа максимума для гармонических функций.

Ссылки [ править ]

Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0772-9.

Sabelfeld, KK; Шалимова И.А. (1997). Сферические средства для PDE . ВСП. ISBN 978-90-6764-211-8.
Сунада, Тошиказу (1981). «Сферические средства и геодезические цепи в римановом многообразии». Пер. Являюсь. Математика. Soc . 267 : 483–501.

Внешние ссылки [ править ]

Сферическое среднее в PlanetMath .