В квантовой механике , то прямоугольный (или, иногда, кв ) потенциальный барьер является стандартной одномерной задачей , которая демонстрирует явления волнового механического туннелирования (также называемое «квантовое туннелирование») и волну-механическое отражение. Задача состоит в решении одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, сталкивающейся с прямоугольным барьером потенциальной энергии. Обычно предполагается, как и здесь, что свободная частица сталкивается с барьером слева.
Хотя классически частица, ведущая себя как точечная масса , будет отражаться, если ее энергия меньше чем , у частицы, фактически ведущей себя как материальная волна, есть ненулевая вероятность проникнуть через барьер и продолжить свое движение как волна на другой стороне. В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая связь волн . Вероятность того, что частица пройдет через барьер, определяется коэффициентом пропускания , тогда как вероятность того, что она отразится, определяется коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шредингера позволяет вычислить эти коэффициенты.
Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид
где - гамильтониан , - (приведенная) постоянная Планка , - масса , энергия частицы и
- потенциал барьера с высотой и шириной .
- ступенчатая функция Хевисайда , т. е.
Барьер расположен между и . Шлагбаум можно перемещать в любое положение без изменения результата. Первый член гамильтониана - кинетическая энергия.
Барьер делит пространство на три части ( ). В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера может быть записано как суперпозиция левой и правой движущихся волн (см. Свободную частицу ). Если
где волновые числа связаны с энергией соотношением
Индекс коэффициентов и обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что если энергия частицы ниже высоты барьера, она становится мнимой, а волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее, мы сохраняем обозначения, хотя в этом случае волны больше не распространяются. Здесь мы предположили . Этот случай рассматривается ниже.
Коэффициенты должны быть найдены из граничных условий волновой функции при и . Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными всюду, поэтому
Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты
Если энергия равна высоте барьера, второй дифференциал волновой функции внутри области барьера равен 0, и, следовательно, решения уравнения Шредингера больше не являются экспонентами, а являются линейными функциями пространственной координаты
Полное решение уравнения Шредингера находится так же, как и выше, путем сопоставления волновых функций и их производных в точках и . Это приводит к следующим ограничениям на коэффициенты:
Здесь поучительно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией, превышающей высоту барьера , всегда будет проходить через барьер, а классическая частица, падающая на барьер, всегда будет отражаться.
Чтобы изучить квантовый случай, рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны ( ). Он может быть отражен ( ) или передан ( ).
Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения (входящая частица), (отражение), (нет входящей частицы справа) и ( прохождение ). Затем мы исключаем коэффициенты из уравнения и решаем относительно и .
Результат:
Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. Обратите внимание, что эти выражения верны для любой энергии .
Удивительный результат состоит в том, что для энергий меньше высоты барьера существует ненулевая вероятность
для прохождения частицы через барьер, с . Этот эффект, отличный от классического, называется квантовым туннелированием . Передача экспоненциально подавляется с шириной барьера, что можно понять из функциональной формы волновой функции: вне барьера она колеблется с волновым вектором , тогда как внутри барьера она экспоненциально затухает на расстоянии . Если барьер намного шире, чем длина затухания, левая и правая части практически независимы, и, как следствие, туннелирование подавляется.
В этом случае
где .
Не менее удивительно то, что для энергий, превышающих высоту барьера, частица может отражаться от барьера с ненулевой вероятностью
Вероятности прохождения и отражения фактически колеблются с . Классический результат идеальной передачи без какого-либо отражения ( , ) воспроизводится не только в пределе высокой энергии, но также когда энергия и ширина барьера удовлетворяют , где (см. Пики около и 1,8 на приведенном выше рисунке). Обратите внимание, что вероятности и амплитуды, как написано, относятся к любой энергии (выше / ниже) высоты барьера.
Вероятность передачи при оценивается в
Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем. Одним из таких примеров являются границы раздела двух проводящих материалов. В основной массе материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью барьерного потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.
Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за зазора между концом СТМ и нижележащим объектом. Поскольку туннельный ток экспоненциально зависит от ширины барьера, это устройство чрезвычайно чувствительно к изменениям высоты исследуемого образца.
Вышеупомянутая модель одномерная, а пространство трехмерное. Следует решить уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного координатного направления и трансляционно инвариантны относительно других; они отделимы . Уравнение Шредингера затем может быть сведено к случаю , рассмотренному здесь с помощью анзатца для волновой функции типа: .
Для другой связанной модели барьера см. Дельта потенциальный барьер (QM) , который можно рассматривать как частный случай конечного потенциального барьера. Все результаты из этой статьи немедленно применяются к дельта-потенциальному барьеру, принимая пределы , сохраняя постоянство.