В теории вероятностей и статистике , распределение вероятностей является математической функцией , которая дает вероятность появления различных возможным исходов для эксперимента . [1] [2] Это математическое описание случайного явления с точки зрения его выборочного пространства и вероятностями из событий (подмножества пространства образца). [3]
Например, если X используется для обозначения результата подбрасывания монеты («эксперимент»), тогда распределение вероятностей X примет значение 0,5 (1 из 2 или 1/2) для X = орла и 0,5 для X = решка (при условии, что монета справедливая). Примеры случайных явлений включают погодные условия в будущем, рост случайно выбранного человека, долю учащихся мужского пола в школе, результаты опроса, который будет проводиться, и т. Д. [4]
Вступление
Распределение вероятностей - это математическое описание вероятностей событий, подмножеств выборочного пространства . Пространство выборки, часто обозначаемое, [5] - совокупность всех возможных исходов наблюдаемого случайного явления; это может быть любой набор: набор действительных чисел , набор векторов , набор произвольных нечисловых значений и т. д. Например, пространство отсчетов для подбрасывания монеты будет Ω = {орла, решка} .
Чтобы определить распределения вероятностей для конкретного случая случайных величин (чтобы пространство выборки можно было рассматривать как числовой набор), принято различать дискретные и непрерывные случайные величины . В дискретном случае достаточно задать вероятностную функцию масс присвоение вероятности каждому возможному исходу: например, при броске честного кубика каждое из шести значений от 1 до 6 имеет вероятность 1/6. Затем вероятность события определяется как сумма вероятностей результатов, удовлетворяющих событию; например, вероятность события «на кубике выпадает четное значение» равна
Напротив, когда случайная величина принимает значения из континуума, то обычно любой отдельный результат имеет нулевую вероятность, и только события, которые включают бесконечно много результатов, например интервалы, могут иметь положительную вероятность. Например, рассмотрите возможность измерения веса куска ветчины в супермаркете и предположите, что весы имеют многозначную точность. Вероятность того, что он весит ровно 500 г, равна нулю, поскольку, скорее всего, у него будут какие-то ненулевые десятичные цифры. Тем не менее, при контроле качества можно потребовать, чтобы упаковка «500 г» ветчины весила от 490 г до 510 г с вероятностью не менее 98%, и это требование менее чувствительно к точности измерительных приборов.
Непрерывные распределения вероятностей можно описать несколькими способами. Функция плотности вероятности описывает бесконечно малую вероятность любого заданного значения, и вероятность того, что результат находится в заданном интервале, может быть вычислена путем интегрирования функции плотности вероятности по этому интервалу. [6] Альтернативное описание распределения осуществляется с помощью кумулятивной функции распределения , которая описывает вероятность того, что случайная величина не больше заданного значения (т. Е. P ( X < x ) для некоторого x ). Кумулятивная функция распределения - это площадь под функцией плотности вероятности изк x , как показано на рисунке справа. [7]
Общее определение
Распределение вероятностей может быть описано в различных формах, например с помощью функции массы вероятности или кумулятивной функции распределения. Одно из наиболее общих описаний, применимое к непрерывным и дискретным переменным, - с помощью функции вероятностичье входное пространство связан с пространством выборки и дает вероятность в качестве выходных данных. [8]
Функция вероятности Р может принимать в качестве аргумента подмножеств самого пространства образца, как и в примере с броском монеты, где функция Р был определен так , что P (головки) = 0,5 и Р (хвосты) = 0,5 . Однако из-за широкого использования случайных величин , которые преобразуют пространство выборки в набор чисел (например,, ), чаще всего изучаются распределения вероятностей, аргументы которых являются подмножествами этих конкретных видов множеств (числовых наборов) [9], и все распределения вероятностей, обсуждаемые в этой статье, относятся к этому типу. Обычно обозначают P ( X E ) вероятностьчто некоторая переменная X принадлежит некоторому событию Е . [4] [10]
Вышеупомянутая функция вероятности характеризует распределение вероятностей только в том случае, если оно удовлетворяет всем аксиомам Колмогорова , а именно:
- , поэтому вероятность неотрицательна
- , поэтому вероятность не превышает
- для любого непересекающегося семейства множеств
Понятие функции вероятности становится более строгим, определяя его как элемент вероятностного пространства. , где это набор возможных результатов, это множество всех подмножеств вероятность которого можно измерить, и функция вероятности или мера вероятности , которая присваивает вероятность каждому из этих измеримых подмножеств. [11]
Распределения вероятностей обычно делятся на два класса. Дискретное распределение вероятностей применимо к сценариям , где множество возможных исходов дискретное (например, жеребьевка, рулона в костях) и вероятности кодируются дискретным список вероятностей исходов; в этом случае дискретное распределение вероятностей известно как функция массы вероятностей . С другой стороны, непрерывные распределения вероятностей применимы к сценариям, в которых набор возможных результатов может принимать значения в непрерывном диапазоне (например, действительные числа), такие как температура в данный день. В случае действительных чисел непрерывное распределение вероятностей является кумулятивной функцией распределения . В общем, в непрерывном случае вероятности описываются функцией плотности вероятности , а распределение вероятностей по определению является интегралом функции плотности вероятности. [4] [6] [10] нормальное распределением является часто встречающимся непрерывным распределением вероятностей. Более сложные эксперименты, например, со случайными процессами, определенными в непрерывном времени , могут потребовать использования более общих вероятностных мер .
Распределение вероятностей, пространство выборок которого одномерно (например, действительные числа, список меток, упорядоченные метки или двоичный), называется одномерным , а распределение, пространство выборки которого является векторным пространством размерности 2 или более, называется многомерным . Одномерное распределение дает вероятности того, что одна случайная величина принимает различные альтернативные значения; многомерное распределение ( совместное распределение вероятностей ) дает вероятности случайного вектора - списка из двух или более случайных величин - принимающего различные комбинации значений. Важные и часто встречающиеся одномерные распределения вероятностей включают биномиальное распределение , гипергеометрическое распределение и нормальное распределение . Часто встречающееся многомерное распределение - это многомерное нормальное распределение .
Помимо функции вероятности, кумулятивная функция распределения, функция массы вероятности и функция плотности вероятности, функция генерирования момента и характеристическая функция также служат для идентификации распределения вероятностей, поскольку они однозначно определяют лежащую в основе кумулятивную функцию распределения. [12]
Терминология
Некоторые ключевые понятия и термины, широко используемые в литературе по теме вероятностных распределений, перечислены ниже. [1]
Функции для дискретных переменных
- Функция вероятности : описывает вероятность что событие из пробного пространства происходит. [8]
- Функция вероятности массы (pmf) : функция, которая дает вероятность того, что дискретная случайная величина равна некоторому значению.
- Распределение частот : таблица, в которой отображается частота различных результатов в выборке .
- Относительное частотное распределение : частотное распределение, в котором каждое значение было разделено (нормализовано) на количество результатов в выборке, т. Е. На размер выборки.
- Функция дискретного распределения вероятностей : общий термин, обозначающий способ распределения общей вероятности 1 по всем различным возможным исходам (т. Е. По всей совокупности) для дискретной случайной величины.
- Кумулятивная функция распределения : функция, оценивающая вероятность того, что примет значение меньше или равное для дискретной случайной величины.
- Категориальное распределение : для дискретных случайных величин с конечным набором значений.
Функции для непрерывных переменных
- Функция плотности вероятности (pdf): функция, значение которой в любой заданной выборке (или точке) в пространстве выборки (набор возможных значений, принимаемых случайной величиной) может интерпретироваться как обеспечивающая относительную вероятность того, что значение случайной переменной будет равны этому образцу.
- Функция непрерывного распределения вероятностей : чаще всего используется для непрерывных случайных величин.
- Кумулятивная функция распределения : функция, оценивающая вероятность того, что примет значение меньше или равное для непрерывной переменной.
- Квантильная функция : обратная кумулятивной функции распределения. Дает такое, что с вероятностью , не будет превышать .
Основные термины
- Режим : для дискретной случайной величины значение с наибольшей вероятностью; для непрерывной случайной величины - место, в котором функция плотности вероятности имеет локальный пик.
- Поддержка : набор значений, которые могут быть приняты случайной величиной с ненулевой вероятностью. Для случайной величины, иногда его обозначают как . [5]
- Хвост : [13] области, близкие к границам случайной величины, если pmf или pdf в них относительно низкие. Обычно имеет вид, или их объединение.
- Head : [13] регион с относительно высоким PMF или PDF. Обычно имеет вид.
- Ожидаемое значение или среднее значение : средневзвешенное значение возможных значений с использованием их вероятностей в качестве их весов; или его непрерывный аналог.
- Медиана : значение, при котором набор значений меньше медианы и набор значений больше медианы имеют вероятность не более половины.
- Дисперсия : второй момент pmf или pdf относительно среднего; важная мера дисперсии распределения.
- Стандартное отклонение : квадратный корень из дисперсии и, следовательно, еще одна мера дисперсии.
- Квантиль : q-квантиль - это значение такой, что .
- Симметрия : свойство некоторых распределений, в которых часть распределения слева от определенного значения (обычно медиана) является зеркальным отображением части справа от него.
- Асимметрия : мера степени, в которой PMF или PDF "наклоняются" в одну сторону от своего среднего значения. Третий стандартизированный момент распределения.
- Эксцесс : мера «жирности» хвостов PMF или PDF. Четвертый стандартизированный момент распределения.
Дискретное распределение вероятностей
Дискретное распределение вероятностей является распределением вероятностей случайной величины , которая может принимать только счетное число значений. [14] В случае, когда диапазон значений счетно бесконечен, эти значения должны уменьшаться до нуля достаточно быстро, чтобы вероятности в сумме составили 1. Например, еслидля n = 1, 2, ... сумма вероятностей будет 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.
Хорошо известные дискретные распределения вероятностей , используемые в статистическом моделировании включают распределение Пуассона , то распределение Бернулли , то биномиальное распределение , то геометрическое распределение , а отрицательное биномиальное распределение . [3] Кроме того, дискретное равномерное распределение обычно используется в компьютерных программах, которые делают равновероятный случайный выбор между несколькими вариантами.
Когда выборка (набор наблюдений) берется из большей совокупности, точки выборки имеют дискретное эмпирическое распределение , которое предоставляет информацию о распределении совокупности.
Кумулятивная функция распределения
Эквивалентно вышесказанному, дискретная случайная величина может быть определена как случайная величина, чья кумулятивная функция распределения (cdf) увеличивается только за счет скачков непрерывности, то есть ее cdf увеличивается только там, где она «перескакивает» к более высокому значению, и остается постоянной между эти прыжки. Обратите внимание, однако, что точки, в которых скачки cdf могут образовывать плотный набор действительных чисел. Точки, где происходят скачки, - это именно те значения, которые может принимать случайная величина.
Представление дельта-функции
Следовательно, дискретное распределение вероятностей часто представляется как обобщенная функция плотности вероятности, включающая дельта-функции Дирака , что существенно унифицирует обработку непрерывных и дискретных распределений. Это особенно полезно при работе с распределениями вероятностей, включающими как непрерывную, так и дискретную части. [15]
Индикатор-функция представление
Для дискретной случайной величины X пусть u 0 , u 1 , ... будут значениями, которые она может принимать с ненулевой вероятностью. Обозначить
Это непересекающиеся множества , и для таких множеств
Отсюда следует, что вероятность того, что X принимает любое значение, кроме u 0 , u 1 , ..., равна нулю, и поэтому можно записать X как
кроме набора с нулевой вероятностью, где является функцией индикатора A . Это может служить альтернативным определением дискретных случайных величин.
Распределение по одной точке
Особым случаем является дискретное распределение случайной величины, которая может принимать только одно фиксированное значение; другими словами, это детерминированное распределение . Формально выраженная случайная величина имеет одноточечное распределение, если у него есть возможный результат такой, что [16] Все остальные возможные исходы имеют вероятность 0. Его кумулятивная функция распределения сразу же перескакивает с 0 на 1.
Непрерывное распределение вероятностей
Непрерывное распределение вероятностей является распределением вероятностей, носитель которой несчетное множество, например, с интервалом в реальной линии. [17] Они уникально характеризуются кумулятивной функцией распределения, которую можно использовать для расчета вероятности для каждого подмножества поддержки. Существует множество примеров непрерывных распределений вероятностей: нормальное , равномерное , хи-квадрат и другие .
Случайная величина имеет непрерывное распределение вероятностей, если существует функция такое, что для каждого интервала вероятность принадлежащий дается интегралом от над . [18] Например, если, то у нас будет: [19]
В частности, вероятность принимать любое единственное значение (это, ) равен нулю, поскольку интеграл с совпадающими верхним и нижним пределами всегда равен нулю. Переменная, удовлетворяющая вышеуказанному, называется непрерывной случайной величиной . Его кумулятивная функция плотности определяется как
который, согласно этому определению, обладает свойствами:
- не убывает;
- ;
- а также ;
- ; а также
- непрерывна в силу интегральных свойств Римана . [20]
Также можно думать в обратном направлении, что обеспечивает большую гибкость: если является функцией, которая удовлетворяет всем, кроме последнего из свойств выше, тогда представляет собой кумулятивную функцию плотности для некоторой случайной величины: дискретная случайная величина, если является ступенчатой функцией, а в противном случае - непрерывной случайной величиной. [21] Это позволяет получать непрерывные распределения, которые имеют кумулятивную функцию плотности, но не функцию плотности вероятности, такую как распределение Кантора .
Часто бывает необходимо обобщить приведенное выше определение для более произвольных подмножеств вещественной прямой. В этих контекстах непрерывное распределение вероятностей определяется как распределение вероятностей с кумулятивной функцией распределения, которая является абсолютно непрерывной . Эквивалентно, это распределение вероятностей действительных чисел , которое абсолютно непрерывно относительно меры Лебега . Такие распределения могут быть представлены их функциями плотности вероятности . Еслиявляется такой абсолютно непрерывной случайной величиной, то она имеет функцию плотности вероятности , и его вероятность попасть в измеримое по Лебегу множество является:
где - мера Лебега.
Примечание по терминологии: некоторые авторы используют термин «непрерывное распределение» для обозначения распределений, чьи кумулятивные функции распределения являются непрерывными , а не абсолютно непрерывными . Эти дистрибутивы - единственные такой, что для всех . Это определение включает (абсолютно) непрерывные распределения, определенные выше, но оно также включает особые распределения , которые не являются ни абсолютно непрерывными, ни дискретными, ни их смесью и не имеют плотности. Пример дается распределением Кантора .
Колмогоровское определение
В теоретико-мерной формализации теории вероятностей , А случайная величина определяется как измеримой функции из вероятностного пространства в измеримое пространство . Учитывая, что вероятности событий видаудовлетворяет условие Колмогорова аксиомы теория вероятностей , то распределением вероятностей X является прямым образом меры из , которая является вероятностной мерой на удовлетворение . [22] [23] [24]
Другие виды раздач
Непрерывные и дискретные дистрибутивы с поддержкой на или же чрезвычайно полезны для моделирования множества явлений [4] [7], поскольку большинство практических распределений поддерживаются на относительно простых подмножествах, таких как гиперкубы или шары . Однако это не всегда так, и существуют явления с опорами, которые на самом деле представляют собой сложные кривые. в некотором пространстве или похожие. В этих случаях распределение вероятностей поддерживается изображением такой кривой и, вероятно, будет определено эмпирическим путем, а не нахождением для него закрытой формулы. [25]
Один из примеров показан на рисунке справа, который показывает эволюцию системы дифференциальных уравнений (обычно известных как уравнения Рабиновича – Фабриканта ), которые можно использовать для моделирования поведения ленгмюровских волн в плазме . [26] Когда кто-то изучает это явление, они наблюдают состояния из подмножества, указанного красным. Таким образом, можно спросить, какова вероятность наблюдения состояния в определенной позиции красного подмножества; если такая вероятность существует, она называется вероятностной мерой системы. [27] [25]
Подобные сложные опоры довольно часто возникают в динамических системах . Установить, что в системе есть вероятностная мера, непросто, и основная проблема заключается в следующем. Позволять быть мгновенными во времени и подмножество поддержки, если для системы существует мера вероятности, можно было бы ожидать, что частота наблюдений состояний внутри множества будет равно в интервале а также , чего может и не произойти; например, он может колебаться подобно синусу, предел которой при не сходится. Формально мера существует только в том случае, если предел относительной частоты сходится, когда система наблюдается до бесконечного будущего. [28] Раздел динамических систем, изучающий существование вероятностной меры, - это эргодическая теория .
Обратите внимание, что даже в этих случаях распределение вероятностей, если оно существует, все же может быть обозначено как «непрерывное» или «дискретное» в зависимости от того, является ли поддержка несчетной или исчисляемой, соответственно.
Генерация случайных чисел
Большинство алгоритмов основано на генераторе псевдослучайных чисел, который производит числа X , равномерно распределенные в полуоткрытом интервале [0,1). Эти случайные переменные X затем преобразуются с помощью некоторого алгоритма, чтобы создать новую случайную переменную, имеющую требуемое распределение вероятностей. С помощью этого источника однородной псевдослучайности могут быть сгенерированы реализации любой случайной величины. [29]
Например, предположим имеет равномерное распределение от 0 до 1. Чтобы построить случайную переменную Бернулли для некоторого , мы определяем
чтобы
Эта случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром . [29] Обратите внимание, что это преобразование дискретной случайной величины.
Для функции распределения из непрерывной случайной величины должна быть построена непрерывная случайная величина. , обратная функция , относится к однородной переменной :
Например, предположим, что случайная величина имеет экспоненциальное распределение. должен быть построен.
так и если имеет распределение, то случайная величина определяется . Это имеет экспоненциальное распределение. [29]
Частая проблема в статистическом моделировании (метод Монте-Карло ) - это генерация псевдослучайных чисел , которые распределены заданным образом.
Распространенные вероятностные распределения и их приложения
Концепция распределения вероятностей и случайных величин, которые они описывают, лежит в основе математической дисциплины теории вероятностей и науки статистики. Существует разброс или изменчивость практически любых значений, которые можно измерить в совокупности (например, рост людей, долговечность металла, рост продаж, транспортный поток и т. Д.); почти все измерения производятся с некоторой основной погрешностью; в физике многие процессы описываются вероятностно, от кинетических свойств газов до квантово-механического описания элементарных частиц . По этим и многим другим причинам простые числа часто неадекватны для описания количества, тогда как распределения вероятностей часто более подходят.
Ниже приводится список некоторых наиболее распространенных распределений вероятностей, сгруппированных по типу процесса, к которому они относятся. Для более полного списка см. Список распределений вероятностей , которые группируются по характеру рассматриваемого результата (дискретные, непрерывные, многомерные и т. Д.)
Все одномерные распределения, представленные ниже, имеют один пик; то есть предполагается, что значения группируются вокруг одной точки. На практике фактически наблюдаемые величины могут группироваться вокруг нескольких значений. Такие количества можно смоделировать с помощью распределения смеси .
Линейный рост (например, ошибки, смещения)
- Нормальное распределение ( распределение Гаусса) для одной такой величины; наиболее часто используемое непрерывное распределение
Экспоненциальный рост (например, цены, доходы, население)
- Логнормальное распределение для одного такого количества, логарифм которого нормально распределен
- Распределение Парето для одной такой величины, логарифм которой распределен экспоненциально ; прототипное степенное распределение
Равномерно распределенные количества
- Дискретное равномерное распределение для конечного набора значений (например, результат честной игры)
- Непрерывное равномерное распределение для непрерывно распределяемых значений
Испытания Бернулли (события да / нет, с заданной вероятностью)
- Базовые дистрибутивы:
- Распределение Бернулли для результата одного испытания Бернулли (например, успех / неудача, да / нет)
- Биномиальное распределение количества «положительных событий» (например, успехов, голосов «да» и т. Д.) При фиксированном общем количестве независимых случаев.
- Отрицательное биномиальное распределение для наблюдений биномиального типа, но где интересующее количество - это количество неудач до того, как произойдет заданное количество успехов.
- Геометрическое распределение для наблюдений биномиального типа, но где интересующей величиной является количество неудач до первого успеха; частный случай отрицательного биномиального распределения
- Относится к схемам выборки из конечной совокупности:
- Гипергеометрическое распределение количества «положительных совпадений» (например, успехов, голосов «за» и т. Д.) При фиксированном общем количестве вхождений с использованием выборки без замены.
- Бета-биномиальное распределение количества «положительных совпадений» (например, успехов, голосов «за» и т. Д.) При фиксированном общем количестве вхождений, выборка с использованием модели урны Полиа (в некотором смысле «противоположность» выборки без замены )
Категориальные исходы (события с K возможных исходов)
- Категориальное распределение для одного категориального результата (например, да / нет / возможно в опросе); обобщение распределения Бернулли
- Мультиномиальное распределение для количества категориальных исходов каждого типа при фиксированном общем количестве исходов; обобщение биномиального распределения
- Многомерное гипергеометрическое распределение , аналогичное полиномиальному распределению , но с использованием выборки без замены ; обобщение гипергеометрического распределения
Пуассоновский процесс (события, которые происходят независимо с заданной скоростью)
- Распределение Пуассона для числа появлений события типа Пуассона в заданный период времени
- Экспоненциальное распределение для времени до следующего события пуассоновского типа
- Гамма-распределение для времени до следующих k событий пуассоновского типа
Абсолютные значения векторов с нормально распределенными компонентами
- Распределение Рэлея для распределения величин векторов с гауссовскими распределенными ортогональными компонентами. Распределения Рэлея находятся в радиочастотных сигналах с гауссовыми действительными и мнимыми компонентами.
- Распределение Райса , обобщение распределений Рэлея для стационарной составляющей фонового сигнала. Обнаруживается в рисовских затуханиях радиосигналов из-за многолучевого распространения и в МР-изображениях с искажением шума на ненулевых сигналах ЯМР.
Нормально распределенные величины, оперируемые суммой квадратов
- Распределение хи-квадрат , распределение суммы квадратов стандартных нормальных переменных; полезно, например, для вывода относительно выборочной дисперсии нормально распределенных выборок (см. критерий хи-квадрат )
- T-распределение Стьюдента , распределение отношения стандартной нормальной переменной и квадратного корня из масштабированной переменной хи-квадрат ; полезно для вывода относительно среднего значения нормально распределенных выборок с неизвестной дисперсией (см . t-критерий Стьюдента )
- F-распределение , распределение отношения двух масштабированных переменных хи-квадрат ; полезно, например, для выводов, которые включают сравнение дисперсий или R-квадрат (квадрат коэффициента корреляции )
В качестве сопряженных априорных распределений в байесовском выводе
- Бета-распределение для единственной вероятности (действительное число от 0 до 1); сопряжены с распределением Бернулли и биномиальным распределением
- Гамма-распределение для неотрицательного параметра масштабирования; сопряжены с параметром скорости распределения Пуассона или экспоненциальным распределением , точностью (обратной дисперсией ) нормального распределения и т. д.
- Распределение Дирихле для вектора вероятностей, сумма которых должна быть равна 1; сопряжены с категориальным распределением и полиномиальным распределением ; обобщение бета-распределения
- Распределение Уишарта для симметричной неотрицательно определенной матрицы; сопряженный к обратной величине ковариационной матрицы о наличии многомерного нормального распределения ; обобщение гамма-распределения [30]
Некоторые специализированные приложения вероятностных распределений
- В модели языка кэша и другие статистические модели языка , используемые в обработке естественного языка для назначения вероятностей возникновения определенных слов и последовательностей слов сделать это с помощью вероятностных распределений.
- В квантовой механике плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пропорциональна квадрату величины волновой функции частицы в этой точке (см. Правило Борна ). Следовательно, функция распределения вероятностей положения частицы описывается выражением, вероятность того, что положение частицы x будет в интервале a ≤ x ≤ b в размерности один, и аналогичный тройной интеграл в размерности три. Это ключевой принцип квантовой механики. [31]
- Вероятностный поток нагрузки в исследовании потока мощности объясняет неопределенности входных переменных как распределение вероятностей и обеспечивает расчет потока мощности также в терминах распределения вероятностей. [32]
- Прогнозирование возникновения природных явлений на основе предыдущих распределений частот, таких как тропические циклоны , град, время между событиями и т. Д. [33]
Смотрите также
- Условное распределение вероятностей
- Совместное распределение вероятностей
- Распределение квазивероятностей
- Эмпирическое распределение вероятностей
- Гистограмма
- Применение интеграла Римана – Стилтьеса к теории вероятностей
Списки
- Список вероятностных распределений
- Список статистических тем
Рекомендации
Цитаты
- ^ а б Эверит, Брайан. (2006). Кембриджский статистический словарь (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-24688-3. OCLC 161828328 .
- ^ Эш, Роберт Б. (2008). Основная теория вероятностей (Dover ed.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. С. 66–69. ISBN 978-0-486-46628-6. OCLC 190785258 .
- ^ а б Эванс, Майкл; Розенталь, Джеффри С. (2010). Вероятность и статистика: наука о неопределенности (2-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Co., стр. 38. ISBN 978-1-4292-2462-8. OCLC 473463742 .
- ^ а б в г Росс, Шелдон М. (2010). Первый ход вероятности . Пирсон.
- ^ а б «Список вероятностных и статистических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-26 . Проверено 10 сентября 2020 .
- ^ а б «1.3.6.1. Что такое вероятностное распределение» . www.itl.nist.gov . Проверено 10 сентября 2020 .
- ^ а б Современное введение в вероятность и статистику: понимание, почему и как . Деккинг, Мишель, 1946-. Лондон: Спрингер. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588 .CS1 maint: другие ( ссылка )
- ^ a b Главы 1 и 2 Vapnik (1998)
- ^ Уолпол, RE; Майерс, Р.Х .; Майерс, SL; Е. К. (1999). Вероятность и статистика для инженеров . Прентис Холл.
- ^ а б DeGroot, Morris H .; Шервиш, Марк Дж. (2002). Вероятность и статистика . Эддисон-Уэсли.
- ^ Биллингсли, П. (1986). Вероятность и мера . Вайли. ISBN 9780471804789.
- ^ Шепард, Н.Г. (1991). «От характеристической функции к функции распределения: простые основы теории». Эконометрическая теория . 7 (4): 519–529. DOI : 10.1017 / S0266466600004746 .
- ^ Б Более подробную информацию и примеры можно найти в статьях с тяжелыми хвостами распределения , длиннохвостая распределение , курдючных распределение
- ^ Эрхан, Чинлар (2011). Вероятность и стохастика . Нью-Йорк: Спрингер. п. 51. ISBN 9780387878591. OCLC 710149819 .
- ^ Хури, Андре И. (март 2004 г.). «Приложения дельта-функции Дирака в статистике». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 35 (2): 185–195. DOI : 10.1080 / 00207390310001638313 . ISSN 0020-739X . S2CID 122501973 .
- ^ Фис, Марек (1963). Теория вероятностей и математическая статистика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 104. ISBN 0-471-26250-1.
- ^ Шелдон М. Росс (2010). Введение в вероятностные модели . Эльзевир.
- ^ Глава 3.2 ДеГрут и Schervish (2002)
- ^ Борн, Мюррей. «11. Распределения вероятностей - концепции» . www.intmath.com . Проверено 10 сентября 2020 .
- ↑ Глава 7 Буркилл, Дж. К. (1978). Первый курс математического анализа . Издательство Кембриджского университета.
- ^ См. Теорему 2.1 Вапника (1998) или теорему Лебега о разложении . Такжеможет быть интересенраздел # Дельта- функция_представление.
- ^ В., Строок, Дэниел (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд (Ред. Ред.). Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 978-0521663496. OCLC 43953136 .
- ^ Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей . Нью-Йорк, США: Chelsea Publishing Company. С. 21–24.
- ^ Джойс, Дэвид (2014). «Аксиомы вероятности» (PDF) . Университет Кларка . Проверено 5 декабря 2019 года .
- ^ а б Alligood, KT; Зауэр, Т.Д .; Йорк, Дж. А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Springer.
- ^ Рабинович, М.И.; Фабрикант, А.Л. (1979). «Стохастическая самомодуляция волн в неравновесных средах». J. Exp. Теор. Phys . 77 : 617–629. Bibcode : 1979JETP ... 50..311R .
- ^ Раздел 1.9 Росс, С.М.; Пекез, EA (2007). Второй курс вероятности (PDF) .
- ^ Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer.
- ^ а б в Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Мистер, Людольф Эрвин (2005), «Почему вероятность и статистика?», Современное введение в вероятность и статистику , Springer London, стр. 1–11, DOI : 10.1007 / 1-84628-168-7_1 , ISBN 978-1-85233-896-1
- ^ Епископ, Кристофер М. (2006). Распознавание образов и машинное обучение . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-31073-8. OCLC 71008143 .
- ^ Чанг, Раймонд. Физическая химия для химических наук . Томан, Джон У., младший, 1960-. [Милл-Вэлли, Калифорния]. С. 403–406. ISBN 978-1-68015-835-9. OCLC 927509011 .
- ^ Chen, P .; Chen, Z .; Бак-Йенсен, Б. (апрель 2008 г.). «Вероятностный поток нагрузки: обзор». 2008 Третья международная конференция по дерегулированию и реструктуризации электроэнергетики и энергетическим технологиям . С. 1586–1591. DOI : 10,1109 / drpt.2008.4523658 . ISBN 978-7-900714-13-8. S2CID 18669309 .
- ^ Мэйти, Раджиб (30 апреля 2018 г.). Статистические методы в гидрологии и гидроклиматологии . Сингапур. ISBN 978-981-10-8779-0. OCLC 1038418263 .
Источники
- ден Деккер, AJ; Сиджберс, Дж. (2014). «Распределение данных в магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica . 30 (7): 725–741. DOI : 10.1016 / j.ejmp.2014.05.002 . PMID 25059432 .
- Вапник, Владимир Наумович (1998). Статистическая теория обучения . Джон Уайли и сыновья.
Внешние ссылки
- "Распределение вероятностей" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Полевое руководство по непрерывному распределению вероятностей , Гэвин Э. Крукс.