Теорема Стайнспринга о расширении

В математике , теорема дилатации Стайнспринга в , также называемой теореме факторизации Стайнспринга в , названной в честь У. Форрест Стайнспринга , является результатом теории оператора , который представляет любое вполне положительное отображение на С * -алгеброй в виде композиции два вполне положительных отображений , каждый из которых имеют особая форма:

1. A * -представление A на некотором вспомогательном гильбертовом пространстве K, за которым следует
2. Операторное отображение вида T → V * TV .

Более того, теорема Стайнспринга является структурной теоремой из C * -алгебры в алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Показано, что полностью положительные отображения являются простыми модификациями * -представлений или иногда называемыми * -гомоморфизмами .

Формулировка [ править ]

В случае унитальной C * -алгебры результат будет следующим:

Теорема . Пусть унитальная С * -алгебра, Н гильбертово пространство и В ( Н ) будут ограниченные операторы на H . За каждый полностью положительный

${\displaystyle \Phi :A\to B(H),}$

существует гильбертово пространство K и унитальный * -гомоморфизм

${\displaystyle \pi :A\to B(K)}$

такой, что

${\displaystyle \Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,}$

где - ограниченный оператор. Кроме того, у нас есть${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle \|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.}$

Неформально можно сказать, что всякую полностью положительную карту можно « поднять » до карты формы .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle V^{*}(\cdot )V}$

Обратное утверждение тривиально верно. Таким образом, результат Stinespring классифицирует полностью положительные карты.

Эскиз доказательства [ править ]

Кратко обрисуем доказательство. Пусть . Для определения${\displaystyle K=A\otimes H}$${\displaystyle a\otimes h,\ b\otimes g\in K}$

${\displaystyle \langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}}$

и продлить на полу-линейности на все K . Это эрмитова полуторалинейная форма, потому что она совместима с операцией *. Затем полная положительность используется, чтобы показать, что эта полуторалинейная форма на самом деле является положительно полуопределенной. Поскольку положительные полуопределенные эрмитовы полуторалинейные формы удовлетворяют неравенству Коши – Шварца, подмножество${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K}$

является подпространством. Мы можем снять вырождение , рассматривая фактор-пространство . Тогда пополнение этого фактор-пространства является гильбертовым пространством, также обозначаемым . Затем определите и . В этом можно убедиться и получить желаемые свойства. ${\displaystyle K/K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle Vh=1_{A}\otimes h}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle V}$

Обратите внимание , что это только естественное алгебраическое вложение из Н в К . Можно проверить, что это так . В частности, так, что это изометрия тогда и только тогда, когда . В этом случае Н может быть вложена в пространстве Гильберта смысле, в K и , действующая на K , становится проекцией на H . Символически мы можем написать${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h}$${\displaystyle V^{\ast }V=\Phi (1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Phi (1)=1}$${\displaystyle V^{\ast }}$

${\displaystyle \Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.}$

На языке теории дилатации , это сказать , что это сжатие в . Следовательно, из теоремы Стайнспринга следует, что всякое унитальное вполне положительное отображение является сжатием некоторого * -гомоморфизма .${\displaystyle \Phi (a)}$${\displaystyle \pi (a)}$

Минимальность [ править ]

Тройка ( π , V , K ) называется представлением Стайнспринга для Φ. Возникает естественный вопрос, можно ли в каком-то смысле уменьшить данное представление Стайнспринга.

Пусть K ₁ - замкнутая линейная оболочка π ( A ) VH . По свойству * -представлений в общем случае K ₁ является инвариантным подпространством в π ( a ) для всех a . Кроме того, K ₁ содержит VH . Определять

${\displaystyle \pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.}$

Мы можем вычислить напрямую

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}}$$

и если k и ℓ лежат в K ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}}$$

Таким образом , ( π ₁ , V , K ₁ ) также является представление Стайнспринга Ф и обладает дополнительным свойством , что К ₁ является замкнутой линейной оболочкой из П ( A ) VH . Такое представление называется минимальным представлением Стайнспринга .

Уникальность [ править ]

Пусть ( π ₁ , V ₁ , K ₁ ) и ( π ₂ , V ₂ , K ₂ ) - два представления Стайнспринга данного Φ. Определим частичную изометрию W  : K ₁ → K _{2 следующим} образом:

${\displaystyle \;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.}$

На V ₁ H ⊂ K ₁ это дает соотношение сплетения

${\displaystyle \;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}$

В частности, если оба Стайнспринга представлений являются минимальными, W является унитарным . Таким образом, минимальные представления Стайнспринга уникальны с точностью до унитарного преобразования.

Некоторые последствия [ править ]

Упомянем некоторые результаты, которые можно рассматривать как следствия теоремы Стайнспринга. Исторически некоторые из приведенных ниже результатов предшествовали теореме Стайнспринга.

Строительство GNS [ править ]

Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала (ГНС) заключается в следующем. Пусть H в теореме Стайнспринга одномерно, т. Е. Комплексные числа . Таким образом , Φ теперь будет положительным линейным функционалом на А . Если мы предполагаем, что Φ является состоянием , то есть Φ имеет норму 1, то изометрия определяется равенством${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle V1=\xi }$

для некоторых из единичной нормы . Так${\displaystyle \xi \in K}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}}$$

и мы восстановили представление состояний GNS. Это один из способов увидеть, что полностью положительные отображения, а не просто положительные, являются истинными обобщениями положительных функционалов .

Линейный положительный функционал на C * -алгебре является абсолютно непрерывным относительно другого такого функционала (называемого опорным функционалом), если он равен нулю на любом положительном элементе, на котором опорный положительный функционал равен нулю. Это приводит к некоммутативному обобщению теоремы Радона – Никодима . Обычный оператор плотности состояний на матричных алгебрах относительно стандартного следа есть не что иное, как производная Радона – Никодима, когда опорный функционал выбирается в качестве следа. Белавкинввел понятие полной абсолютной непрерывности одного вполне положительного отображения относительно другого (эталонного) отображения и доказал операторный вариант некоммутативной теоремы Радона – Никодима для вполне положительных отображений. Частный случай этой теоремы, соответствующий следу полностью положительного эталонного отображения на матричных алгебрах, приводит к оператору Чоя как производной Радона – Никодима CP-отображения относительно стандартного следа (см. Теорему Чоя).

Теорема Чоя [ править ]

Чой показал, что если полностью положительно, где G и H - конечномерные гильбертовы пространства размерностей n и m соответственно, то Φ принимает вид:${\displaystyle \Phi :B(G)\to B(H)}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

Это называется теоремой Чоя о вполне положительных отображениях . Чой доказал это, используя технику линейной алгебры, но его результат также можно рассматривать как частный случай теоремы Стайнспринга: пусть ( π , V , K ) - минимальное представление Стайнспринга для Φ. По минимальности K имеет размерность меньше, чем размерность . Таким образом, без ограничения общности, K можно отождествить с${\displaystyle C^{n\times n}\otimes C^{m}}$

${\displaystyle K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.}$

Каждый из них является копией n- мерного гильбертова пространства. Из , мы видим, что указанная выше идентификация K может быть устроена так , где P _i - проекция из K в . Пусть . У нас есть${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$${\displaystyle \;P_{i}\pi (a)P_{i}=a}$${\displaystyle C_{i}^{n}}$${\displaystyle V_{i}=P_{i}V}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}}$

и результат Чоя доказан.

Результат Чоя является частным случаем некоммутативной теоремы Радона – Никодима для вполне положительных (CP) отображений, соответствующих следу полностью положительного эталонного отображения на матричных алгебрах. В сильной операторной форме эта общая теорема была доказана Белавкиным в 1985 году, который показал существование оператора положительной плотности, представляющего CP-отображение, которое полностью абсолютно непрерывно относительно эталонного CP-отображения. Единственность этого оператора плотности в эталонном представлении Штейнспринга просто следует из минимальности этого представления. Таким образом, оператор Чоя является производной Радона – Никодима конечномерного CP-отображения относительно стандартного следа.

Обратите внимание, что при доказательстве теоремы Чоя, а также теоремы Белавкина из формулировки Стайнспринга, аргумент не дает явно операторы Крауса V _i , если только не делается явная различная идентификация пространств. С другой стороны, первоначальное доказательство Чоя включает прямое вычисление этих операторов.

Теорема Наймарка о растяжении [ править ]

Теорема Наймарка гласит, что любую B ( H ) -значную слабо счетно-аддитивную меру на некотором компактном хаусдорфовом пространстве X можно «поднять» так, чтобы эта мера стала спектральной мерой . Это можно доказать, объединив тот факт, что C ( X ) - коммутативная C * -алгебра, и теорему Стайнспринга.

Теорема С.-Надя о расширении [ править ]

Этот результат утверждает, что каждое сжатие в гильбертовом пространстве имеет унитарное растяжение со свойством минимальности.

Заявление [ править ]

В теории квантовой информации , квантовые каналах или квантовых операциях , определяются как вполне положительные отображения между C * -алгебра. В этом контексте важна теорема Стайнспринга, являющаяся классификацией всех таких карт. Например, часть теоремы об уникальности использовалась для классификации определенных классов квантовых каналов.

Для сравнения различных каналов и вычисления их взаимной достоверности и информации полезно другое представление каналов по их производным "Радон – Никодим", введенное Белавкиным. В конечномерном случае также актуальна теорема Чоя как следовой вариант теоремы Радона – Никодима Белавкина для вполне положительных отображений. Операторы из выражения${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

называются операторами Крауса функции Φ. Выражение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}$

иногда называется представлением операторной суммы Φ.

Ссылки [ править ]

• М.-Д. Чой, Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах , Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
• В. П. Белавкин, П. Сташевский, Теорема Радона – Никодима для полностью положительных отображений , Доклады по математической физике, т. 24, № 1, 49–55 (1986).
• Паулсен В. Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры. Издательство Кембриджского университета, 2003.
• У. Ф. Стайнспринг, Положительные функции на C * -алгебрах , Труды Американского математического общества, 6, 211–216 (1955).