Стационарный процесс

В математике и статистике стационарный процесс ( или строгий/строго стационарный процесс или сильный/сильно стационарный процесс ) — это случайный процесс , безусловное совместное распределение вероятностей которого не меняется при сдвиге во времени. ^[1] Следовательно, такие параметры, как среднее значение и дисперсия , также не меняются с течением времени. Чтобы интуитивно понять стационарность, можно представить маятник без трения . Он совершает колебательные движения вперед и назад, однако амплитуда и частота быть постоянным. Хотя маятник движется, процесс стационарен, так как его « статистика » постоянна (частота и амплитуда). Однако если бы к маятнику приложили силу (например, трение о воздух), то изменилась бы либо частота, либо амплитуда, что сделало бы процесс нестационарным. ^[2]

Поскольку стационарность является допущением, лежащим в основе многих статистических процедур, используемых при анализе временных рядов , нестационарные данные часто преобразуются в стационарные. Наиболее частой причиной нарушения стационарности является тренд среднего, который может быть связан как с наличием единичного корня , так и с детерминированным трендом. В первом случае с единичным корнем стохастические шоки оказывают постоянное воздействие, и процесс не обращается к среднему . В последнем случае детерминированного тренда процесс называется тренд-стационарным процессом , а стохастические шоки имеют только временные эффекты, после которых переменная стремится к детерминированно развивающемуся (непостоянному) среднему значению.

Стационарный процесс тренда не является строго стационарным, но может быть легко преобразован в стационарный процесс путем удаления основного тренда, который является исключительно функцией времени. Точно так же процессы с одним или несколькими единичными корнями можно сделать стационарными с помощью дифференцирования. Важным типом нестационарного процесса, который не включает поведение, подобное тренду, является циклостационарный процесс , который представляет собой стохастический процесс, который циклически изменяется во времени.

Для многих приложений стационарность в строгом смысле слишком ограничительна. Затем используются другие формы стационарности, такие как стационарность в широком смысле или стационарность N -го порядка . Определения различных видов стационарности у разных авторов не согласованы (см. Другая терминология ).

Формально пусть это случайный процесс, и пусть представляет собой кумулятивную функцию распределения безусловного ( т.е. без привязки к какому-либо конкретному начальному значению) совместного распределения в моменты времени . Тогда называется строго стационарным , сильно стационарным или стационарным в строгом смысле , если ^[3]^{: с.}¹⁵⁵ ${\ Displaystyle \ влево \ {X_ {т} \ вправо \}}$ ${\ displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ тау}, \ ldots, x_ {t_ {n} + \ тау})}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {X_ {т} \ вправо \}}$ ${\ displaystyle t_ {1} + \ tau, \ ldots, t_ {n} + \ tau}$ ${\ Displaystyle \ влево \ {X_ {т} \ вправо \}}$

Выше показаны два смоделированных процесса временных рядов, один стационарный, а другой нестационарный. Статистика расширенного теста Дики-Фуллера (ADF) сообщается для каждого процесса; нестационарность нельзя отвергнуть для второго процесса при уровне значимости 5% .