В линейной алгебре , в сублинейной функции (или функционале , как более часто используются в функциональном анализе ), также называемый квази-полунорм или ее Банах функционала , на векторном пространстве является реальной значной функцией лишь некоторые из свойств полунормй . В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательно -значной, а также не должна быть абсолютно однородной . Полунормы сами по себе являются абстракциями более известного понятия нормы , где полунорма имеет все определяющие свойства нормы, за исключением того, что не требуется отображать ненулевые векторы в ненулевые значения.
В функциональном анализе иногда используется название функционала Банаха , что свидетельствует о том, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана – Банаха . Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом, когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха . [1]
В информатике существует также другое понятие , описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».
Определения
Позволять быть векторным пространством над полем где это либо реальные числа или комплексные числа Функция с действительным знаком на называется сублинейной функцией (или сублинейным функционалом, если), также иногда называемый квазиполунормой или банаховым функционалом , если он обладает этими двумя свойствами: [1]
- Положительная однородность / неотрицательная однородность : для любого реального и любой ; а также
- Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех
- Это условие субаддитивности требует быть оцененным по-настоящему.
Сублинейная функция называется положительным [2] или неотрицательным, если для всех
Набор всех сублинейных функций на обозначается можно частично заказать , указав если и только если для всех Функция сублинейна называется минимальной , если это минимальный элемент изпо этому заказу. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является действительным линейным функционалом . [1]
Примеры и достаточные условия
Каждая полунорма и норма является сублинейной функцией, а каждый действительный линейный функционал является сублинейной функцией. Обратное в целом неверно.
Если а также являются сублинейными функциями в реальном векторном пространстве тогда карта тоже В более общем смысле, если - любой непустой набор сублинейных функционалов на вещественном векторном пространстве и если для всех тогда является сублинейным функционалом на [3]
Линейный функционал на - сублинейный функционал, который не является положительным и не является полунормой. [3]
Характеристики
Каждая сублинейная функция является выпуклым функционалом .
Если является вещественнозначной сублинейной функцией на тогда:
- [2] [доказательство 1]
- для каждого [доказательство 2]
- для всех [2]
- Карта определена полунорма на [2]
- Это означает, в частности, что хотя бы один из а также неотрицательно.
- для всех [1] [доказательство 3]
Ассоциированная полунорма
Если является вещественнозначной сублинейной функцией на тогда карта определяет полунорму на называется полунормой, связанной с[2]
Связь с линейными функциями
Если является сублинейной функцией в вещественном векторном пространстве то следующие варианты эквивалентны: [1]
- - линейный функционал ;
- для каждого ;
- для каждого ;
- - минимальная сублинейная функция.
Если является сублинейной функцией в вещественном векторном пространстве то существует линейный функционал на такой, что [1]
Если это реальное векторное пространство, является линейным функционалом на а также положительная сублинейная функция на тогда на если и только если [1]
Непрерывность
Теорема [4] - Пусть является субаддитивной функцией (т. е. для всех ). потом непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда равномерно непрерывна на Если удовлетворяет тогда непрерывно тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно. Если неотрицательно, тогда непрерывно тогда и только тогда, когда открыт в
Предполагать представляет собой TVS над действительными или комплексными числами и является сублинейной функцией на Тогда следующие варианты эквивалентны: [4]
- непрерывно;
- непрерывна в 0;
- равномерно непрерывна на ;
и если положительный, то мы можем добавить к этому списку:
- открыт в
Если это настоящая ТВС, является линейным функционалом на а также является непрерывной сублинейной функцией на тогда на подразумевает, что непрерывно. [4]
Связь с функциями Минковского
Теорема [4] - Если - выпуклая открытая окрестность начала координат в то функционал Минковского от - непрерывная неотрицательная сублинейная функция на такой, что ; если в дополнениеявляется сбалансированным , тоявляется Полунормом на
Отношение к открытым выпуклым множествам
Теорема [4] - Предположим , чтоявляется TVS (не обязательно локально выпуклой или хаусдорфовой) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества это именно те, которые имеют форму для некоторых и некоторая положительная непрерывная сублинейная функция на
Доказательство |
---|
Позволять - открытое выпуклое подмножество Если тогда пусть а в противном случае пусть быть произвольным. Позволятьбыть функционалом Минковского от где является непрерывной сублинейной функцией на поскольку выпуклая, поглощающая и открытая ( однако это не обязательно полунорм, так как не считалось сбалансированным). Из свойств функционалов Минковского известно, что откуда следует. Но по желанию. |
Операторы
Эту концепцию можно распространить на однородные и субаддитивные операторы. Это требует только, чтобы область значений была, скажем, упорядоченным векторным пространством, чтобы понять условия.
Определение информатики
В информатике функцияназывается сублинейной, если или же в асимптотических обозначениях (обратите внимание на малую). Формально, тогда и только тогда, для любого данного существует такой, что для [5] То естьрастет медленнее, чем любая линейная функция. Не следует путать эти два значения: хотя банаховый функционал является выпуклым , для функций сублинейного роста верно почти обратное: каждая функцияможно ограничить сверху вогнутой функцией сублинейного роста. [6]
Смотрите также
- Теорема Хана-Банаха
- Линейный функционал
- Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
- Семинорм
- Супераддитивность
Заметки
- ^ Использование и любой неотрицательная однородность означает, что
- ^ что возможно только если
- ^ что происходит тогда и только тогда, когда
Рекомендации
- ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-220.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 120-121.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 177-221.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 192-193.
- ^ Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Стейн (2001) [1990]. «3,1». Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. С. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Сальватори, Маура; Сава-Гус, Екатерина (29.06.2017). Группы, графы и случайные блуждания . Кембридж. Лемма 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC 948670194 .
Библиография
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .