Шульбинская Сутра или Śulbasūtras ( санскрит : शुल्बसूत्र; Sulba : «струна, шнур, веревка») являются сутры текстов , принадлежащих к Śrauta ритуальной и содержащей геометрии , связанной с огнем алтарного строительства.
Назначение и происхождение
Шульба-сутры являются частью большого корпуса текстов, называемых Шраута-сутрами , которые считаются приложениями к Ведам . Они являются единственными источниками познания индийской математики от ведического периода . Уникальные формы огненного алтаря ассоциировались с уникальными дарами богов. Например, «желающий неба должен построить жертвенник огня в виде сокола»; «Жертвенник огня в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана», и «желающие уничтожить существующих и будущих врагов должны построить жертвенник огня в форме ромба». [1]
Четыре основные Шульба-сутры, которые являются математически наиболее значимыми, приписываются Баудхаяне , Манаве , Апастамбе и Катьяяне . [2] Их язык - поздний ведический санскрит , что указывает на композицию примерно 1-го тысячелетия до нашей эры . [2] Самая старая сутра - это сутра, приписываемая Баудхаяне, возможно, составленная примерно с 800 по 500 год до нашей эры. [2] Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, следующий по возрасту; он помещает Катьяяну и Манаву третьей и четвертой в хронологическом порядке на основе очевидных заимствований. [3] Согласно Плофкеру, Катьяяна была составлена после «великой грамматической кодификации санскрита Панини, вероятно, в середине четвертого века до нашей эры», но она помещает Манаву в тот же период, что и Баудхаяна. [4]
Что касается состава ведических текстов, Плофкер пишет:
Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи богооткровенные тексты предназначены для чтения, слушания и запоминания, а не для передачи в письменной форме, помогло сформировать санскритскую литературу в целом. ... Таким образом, тексты были составлены в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы ( сутры, слово, которое позже применялось для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, легкость запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов было дополнено одним или несколькими прозаическими комментариями ... » [5]
Есть несколько комментариев к каждой из Шульба Сутр, но они были написаны намного позже оригинальных произведений. Комментарий Сундарараджа к Апастамбе, например, пришел из конца 15 века н.э. [6], а комментарий Двараканатхи к Баудхаяне, по-видимому, заимствован из Сундарараджа. [7] Согласно Стаалу, некоторые аспекты традиции, описанной в Шульба-сутрах, могли быть «переданы устно», и он указывает на места в южной Индии, где все еще практикуется ритуал огненного алтаря и сохраняется устная традиция. [8] Однако традиция огненного алтаря в Индии в значительной степени вымерла, и Плофкер предупреждает, что те места, где сохранилась практика, могут отражать более позднее ведическое возрождение, чем непрерывную традицию. [4] Археологические свидетельства алтарных построек, описанных в Шульба-сутрах, немногочисленны. Большой жертвенник огня в форме сокола ( śyenaciti ), датируемый вторым веком до нашей эры, был обнаружен при раскопках Г. Р. Шармой в Каусамби , но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным сутрами Шульбы. [3] [9]
Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих произведений. Шатапатх-брахман и Тайттирий Самхита , содержание которого дата в конце второго тысячелетия или в начале первого тысячелетия до н.э., описывают алтари, размеры по всей видимости, на основе прямоугольного треугольника с ножками 15 пада и 36 пада , один из треугольников , перечисленных в разделе Баудхаяна Шульба Сутра. [10] [11]
Некоторые математики и историки упоминают, что самые ранние из текстов были написаны, начиная с 800 г. до н.э., ведическими индуистами на основе компиляций устной традиции, относящейся к 2000 г. до н.э. [12] [13] Возможно, как предложил Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. [14] Некоторые ученые идут дальше: Стаал выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на аналогичный интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. [15] Зайденберг, а за ним и ван дер Варден, рассматривают ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда на весь остальной мир. . [16] [17] Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Сульбха существовал до 600 г. до н. Э. И не мог находиться под влиянием греческой геометрии. [18] [19] Хотя Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.) как возможное происхождение, однако также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, не найденную в источниках Вавилона. [20] [1] К.С. Кришнан упоминает, что сутры Шульбы предшествуют месопотамским тройкам Пифагора. [21] Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо что Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и датируется 1700 годом до нашей эры. [22] Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтаря] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других странах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться вперед. поскольку их решения не были сохранены в памяти или, в конечном итоге, переведены в рукописи ». [23] Плофкер также предполагает, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику». [24]
Список сутр Шульбы
- Апастамба
- Баудхаяна
- Манава
- Катьяяна
- Майтраяния (чем-то похож на текст Манавы)
- Вараха (в рукописи)
- Вадхула (в рукописи)
- Хираньякешин (аналог Апастамба Шульба Сутры)
Математика
Теорема Пифагора и тройки Пифагора
Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника, так и в общем случае, а также списки троек Пифагора . [25] В Баудхаяне, например, правила приводятся следующим образом:
1.9. Диагональ квадрата дает удвоенную площадь [квадрата].
[...]
1.12. Площади [квадратов], образованные отдельно длинами ширины прямоугольника, вместе равны площади [квадрата], образованной диагональю.
1.13. Это наблюдается в прямоугольниках со сторонами 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36. [26]
Точно так же правила Апастамбы для построения прямых углов в огненных алтарях используют следующие тройки Пифагора: [27] [28]
Кроме того, сутры описывают процедуры построения квадрата с площадью, равной либо сумме, либо разности двух данных квадратов. Обе конструкции продолжаются, позволяя самому большому из квадратов быть квадратом на диагонали прямоугольника, а двум меньшим квадратам быть квадратами по сторонам этого прямоугольника. Утверждение, что каждая процедура дает квадрат желаемой площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другая конструкция дает квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура состоит в том, чтобы вырезать прямоугольный кусок из конца прямоугольника и приклеить его сбоку так, чтобы образовался гномон с площадью, равной первоначальному прямоугольнику. Поскольку гномон представляет собой разность двух квадратов, задачу можно решить, используя одну из предыдущих конструкций. [29]
Геометрия
Сутра Baudhayana Шульбинское дает построение геометрических фигур , таких как квадраты и прямоугольники. [30] Он также дает, иногда приблизительные, сохраняющие геометрическую площадь преобразования одной геометрической формы в другую. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник , равнобедренной трапеции , равнобедренного треугольника , ромба и круга , а также преобразование круга в квадрат. [30] В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, появляются рядом с более точными утверждениями. В качестве примера утверждение об окружении квадрата дано в Баудхаяне как:
2.9. Если желательно превратить квадрат в круг, [шнур длиной] половину диагонали [квадрата] протягивают от центра на восток [его часть, лежащая за пределами восточной стороны квадрата]; с добавлением одной трети [части, лежащей снаружи] к остатку [полудиагонали], рисуется [требуемый] круг. [31]
и утверждение квадрата круга дается как:
2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делится на восемь частей; одна [такая] часть после разделения на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [оставшуюся часть] за вычетом восьмой [шестой части].
2.11. Или разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две части; это дает приблизительную сторону квадрата [желаемую]. [31]
Построения в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, в то время как конструкция из 2.11 дает π как 3,004. [32]
Квадратные корни
Строительство алтаря также привело к вычислению квадратного корня из 2, найденного в трех сутрах. В сутре Баудхаяны это выглядит так:
2.12. Мера должна быть увеличена на ее треть, а эта [третья] снова на ее собственную четвертую за вычетом тридцать четвертой части [той четвертой]; это [значение] диагонали квадрата [сторона которого является мерой]. [31]
что приводит к значению квадратного корня из двух как:
- [33] [34]
В самом деле, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах [ необходима цитата ] , метод включает рекурсивную формулу: для больших значений x, который основан на нерекурсивном тождестве для значений r чрезвычайно малых по сравнению с a .
Также было высказано предположение, например, Бюрком [35], что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально . В своем переводе «Элементов» Евклида Хит очерчивает ряд вех, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась обнаруженной, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих вех в эпоху сутр Шульбы. [36]
Смотрите также
- Кальпа (Веданга)
Цитаты и сноски
- ^ а б Плофкер (2007) , стр. 387, «Огненные жертвенники определенных форм и размеров были связаны с особыми дарами, которые приносящий в жертву желал от богов:« желающий небес должен построить огненный жертвенник в форме сокола »;« огненный жертвенник в форму черепахи должен создать тот, кто желает завоевать мир Брахмана »;« те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный жертвенник в форме ромба »[Sen and Bag 1983, 86 , 98, 111] ".
- ^ a b c Плофкер (2007) , стр. 387
- ^ а б Пингри (1981) , стр. 4
- ^ a b Плофкер (2009) , стр.18
- ^ Плофкер (2009) , стр. 11
- ^ Пингри (1981) , стр. 6
- ^ Delire (2009) , стр. 50
- ↑ Стаал (1999) , стр. 111
- ^ Plofker (2009) , стр19
- ^ Burk (1901 г.) , стр. 554
- ^ Хит (1925) , стр. 362
- ^ "Квадратные корни Сульбха Сутры" . pi.math.cornell.edu . Проверено 24 мая 2020 .
- ^ Датта, Бибхутибхусан (1931). «О происхождении индуистских терминов« корень » ». Американский математический ежемесячник . 38 (7): 371–376. DOI : 10.2307 / 2300909 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2300909 .
- ^ Гупта (1997) , стр. 154
- ↑ Staal (1999) , стр. 106, 109–110
- ^ Зайденберг (1978)
- ↑ Ван дер Варден (1983)
- ^ Ван дер Варден, Бартен Л. (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Springer Verlag. п. 12. ISBN 0387121595.
- ^ Джозеф, Джордж Гевергезе (1997). «Что такое квадратный корень? Исследование геометрического представления в различных математических традициях». Математика в школе . 26 (3): 4–9. ISSN 0305-7259 . JSTOR 30215281 .
- ↑ Boyer (1991) , стр. 207, «Мы находим правила построения прямых углов с помощью троек шнуров, длины которых образуют пифагорейские сортировки, такие как 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, или 8, 15 и 17. , или 12, 35 и 37. Однако все эти триады легко выводятся из старого вавилонского правила; следовательно, влияние Месопотамии в Сульвасутрах не исключено. Аспастамба знал, что квадрат на диагонали прямоугольника равен сумме квадратов на двух соседних сторонах, но эта форма теоремы Пифагора также могла быть получена из Месопотамии ... Происхождение и период существования Сульбасутр настолько предположительны, что мы не можем сказать, связаны ли правила с ранними Египетские исследования или более поздняя греческая проблема удвоения алтаря. Они датируются по-разному в пределах почти тысячелетнего интервала, от восьмого века до нашей эры до второго века нашей эры ».
- ^ Кришнан, KS (2019). Происхождение Вед, Глава 5 . Notion Press. ISBN 978-1645879800.
- ^ Зайденберг (1983) , стр. 121
- ^ Пингри (1981) , стр. 5
- ^ Плофкер (2009) , стр. 17
- Перейти ↑ Thibaut (1875) , pp. 232–238
- ^ Plofker (2007) , стр. 388-389
- ↑ Boyer (1991) , стр. 207
- ^ Джозеф, GG (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики . Издательство Принстонского университета. п. 229 . ISBN 0-691-00659-8.
- Перейти ↑ Thibaut (1875) , pp. 243–246
- ^ a b Плофкер (2007) , стр. 388-391
- ^ a b c Плофкер (2007) , стр. 391
- ^ Плофкер (2007) , стр. 392, «Методы« циркуляции »и квадратур в 2.9 и 2.10, первая из которых проиллюстрирована на рисунке 4.4, подразумевают то, что мы бы назвали значением π, равным 3,088, [...] Квадратура в 2.11, с другой стороны. стороны, предполагает, что π = 3,004 (где), что уже считается «приблизительным». В 2.12 отношение диагонали квадрата к его стороне (наше считается равным 1 + 1/3 + 1 / (3 · 4) - 1 / (3 · 4 · 34) = 1,4142.
- ^ Плофкер (2007) , стр. 392
- ^ Кук (2005) , стр. 200
- ^ Burk (1901 г.) , стр. 575
- ^ Хит (1925) , стр. 364: «Как говорит [Генрих] Фогт, необходимо было пройти три стадии, прежде чем иррациональность диагонали квадрата была обнаружена в каком-либо реальном смысле. (1) Все значения, найденные путем прямого измерения вычислений, основанных на них, должны быть признаны как неточность. Следующее (2) должно подкрепить убеждение в том, что невозможно прийти к точному арифметическому выражению значения. И, наконец, (3) невозможность должна быть доказана. дата, о которой идет речь, достигла даже первой стадии, а тем более второй или третьей ".
Рекомендации
- Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-54397-7.
- Бюрк, Альберт (1901). "Das Āpastamba-ulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen" . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (на немецком языке). 55 : 543–591.
- Делир, Жан Мишель (2009). «Хронологические выводы из сравнения комментариев к различным Шулбасутрам ». В Вуястык, Доминик (ред.). Математика и медицина на санскрите . С. 37–62.
- Брайант, Эдвин (2001). Поиски истоков ведической культуры: дебаты о миграции индоариев . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780195137774.
- Кук, Роджер (2005) [Впервые опубликовано в 1997 году]. История математики: краткий курс . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
- Датта, Бибхутибхушан (1932). Наука Сульбы. Исследование ранней индуистской геометрии . Калькуттский университет .
- Гупта, Р. К. (1997). «Баудхаяна». В Селине, Хелайне (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
- Хит, сэр Томас Л. (1925) [1908]. Тринадцать книг Евклида, переведенные с текста Хейберга, с введением и комментарием . Я (2-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- Пингри, Дэвид (1981), Гонда, Ян (редактор), Джйотимшастра: астральная и математическая литература , История индийской литературы, Vol. VI, Научно-техническая литература
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Плофкер, Ким (2007). «Математика в Индии». В Каце, Виктор J (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11485-9.
- Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691120676.
- Сарма, К.В. (1997). «Сульбасутрас». В Селине, Хелайне (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
- Зайденберг, А. (1978). «Происхождение математики». Архив истории точных наук . 18 : 301–342.
- Зайденберг, А. (1983). «Геометрия ведических ритуалов». В Стаале, Фриц (ред.). Агни: ведический ритуал огненного алтаря . Беркли: Asian Humanities Press.
- Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 : 105–127. DOI : 10,1023 / A: 1004364417713 . S2CID 16466375 .
- Тибо, Джордж (1875). «На Шулвасутрах» . Журнал Азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
- ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Springer-Verlag. ISBN 9783642617812.
Переводы
- «Шулвасутра Баудхаяны с комментарием Двараканатхайаджвана» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала «Пандит». Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий оставлен без перевода.
- (1875) 9 (108): 292–298
- (1875–1876) 10 (109): 17–22 , (110): 44–50 , (111): 72–74 , (114): 139–146 , (115): 166–170 , (116): 186–194 , (117): 209–218.
- (новая серия) (1876–1877) 1 (5): 316–322 , (9): 556–578 , (10): 626–642 , (11): 692–706 , (12): 761–770
- «Шулбапаришишта Катьяны с комментарием Рамы, сына Сурьядасы» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала «Пандит». Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий оставлен без перевода.
- (новая серия) (1882) 4 (1–4): 94–103 , (5–8): 328–339 , (9–10): 382–389 , (9–10): 487–491
- Бюрк, Альберт (1902). "Das Āpastamba-ulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen" . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (на немецком языке). 56 : 327–391.Транскрипция и анализ в Bürk (1901) .
- Сен, СН; Сумка, АК (1983). Шульба-сутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы с текстом, английским переводом и комментариями . Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.