Гипотеза Салливана

В математике , Sullivan предположение или догадка Салливана на картах от классификации пространств может относиться к любому из нескольких результатов и гипотез вызвано гомотопической теории работой Денниса Салливана . А основные темы и мотивация касается фиксированной точки набора в групповых действиях одного конечной группы . Однако наиболее элементарная формулировка относится к классификационному пространству такой группы. Грубо говоря, такое пространство трудно непрерывно отобразить в конечный комплекс CW нетривиальным образом. Такая версия гипотезы Салливана была впервые доказана${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle X}$Хейнс Миллер . ^[1] В частности, в 1984 году, Миллер доказал , что функциональное пространство , несущее компактно-открытой топологию , из базовой точки -preserving отображений из к является слабо сжимаемым .${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle X}$

Это эквивалентно утверждению, что отображение → из X в функциональное пространство отображений → , не обязательно сохраняющее базовую точку, заданное отправкой точки из на постоянное отображение, изображение которого является слабой эквивалентностью . Пространство отображения является примером гомотопического множества неподвижных точек. В частности, это гомотопическое множество неподвижных точек группы, действующей тривиальным действием на . В общем, для группы , действующих на пространстве , гомотопич фиксированных точек являются неподвижными точками этого отображения пространства отображений из универсального накрытия от к под${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle F (BG, X)}$${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle F (BG, X)}$${\ Displaystyle F (BG, X)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$${\ displaystyle F (EG, X)}$ ${\ displaystyle EG}$${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$-действие по заданному в действует на карте в , посылая его в . -Эквивариантное отображение в одну точку индуцирует естественное отображение Н: → от неподвижных точек до гомотопических фиксированных точек , действующих на . Теорема Миллера состоит в том, что η является слабой эквивалентностью тривиальных -действий на конечномерных CW-комплексах. Важным ингредиентом и мотивации (см [1]) для его доказательства является результатом Гуннар Карлссон на гомологии в качестве неустойчивого модуля над алгеброй Стинрода . ^[2]${\ displaystyle F (EG, X)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F (EG, X)}$${\ displaystyle gfg ^ {- 1}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle EG}$${\ displaystyle *}$${\ Displaystyle X ^ {G} = F (*, X) ^ {G}}$${\ Displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle BZ / 2}$

Теорема Миллера обобщает версию гипотезы Салливана, в которой действие на может быть нетривиальным. В, ^[3] Салливан предположил , что η является слабой эквивалентностью после определенной процедуры р-завершения вследствие А. Боусфилда и Д. Кан для группы . Эта гипотеза была неверной, как указано, но правильная версия была дана Миллером и независимо доказана Дуайером-Миллером-Нейзендорфер, ^[4] Карлссоном, ^[5] и Джин Ланн , ^[6], показывая, что естественное отображение → является слабым эквивалентность, когда порядок является степенью простого p, а где обозначает p-пополнение Баусфилда-Кана${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle G = Z / 2}$${\ displaystyle (X ^ {G}) _ {p}}$${\ Displaystyle F (например, (X) _ {p}) ^ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (X) _ {p}}$${\ displaystyle X}$. Доказательство Миллера включает нестабильную спектральную последовательность Адамса , доказательство Карлссона использует его утвердительное решение гипотезы Сигала, а также предоставляет информацию о гомотопических неподвижных точках до завершения, а доказательство Ланна включает его T-функтор. ^[7]${\ Displaystyle F (EG, X) ^ {G}}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Готтлиб, Дэниел Х. (2001) [1994], "Гипотеза Салливана" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Выписка из книги
• Примечания к курсу Дж. Лурье