Кривизна

В математике кривизна — это любое из нескольких тесно связанных между собой понятий геометрии . Интуитивно кривизна — это величина, на которую кривая отклоняется от прямой линии или поверхность отклоняется от плоскости .

Для кривых каноническим примером является окружность , кривизна которой равна обратной величине ее радиуса . Меньшие круги изгибаются более резко и, следовательно, имеют более высокую кривизну. Кривизна в точке дифференцируемой кривой есть кривизна ее соприкасающейся окружности , то есть окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует кривую вблизи этой точки. Кривизна прямой линии равна нулю. В отличие от тангенса , который является векторной величиной, кривизна в точке обычно является скалярной величиной, то есть выражается одним действительным числом .

Для поверхностей (и, в более общем случае, для многомерных многообразий ), вложенных в евклидово пространство , понятие кривизны более сложное, так как оно зависит от выбора направления на поверхности или многообразии. Это приводит к понятиям максимальной кривизны , минимальной кривизны и средней кривизны .

Для римановых многообразий (размерности не менее двух), которые не обязательно вложены в евклидово пространство, можно определить кривизну внутренне , то есть без обращения к внешнему пространству. См. « Кривизна римановых многообразий» для определения, которое дается в терминах длин кривых, прослеживаемых на многообразии и выражаемых с помощью линейной алгебры тензором кривизны Римана .

В Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum ^[1] философ и математик 14-го века Николь Орем вводит понятие кривизны как меру отклонения от прямолинейности; для кругов кривизна обратно пропорциональна радиусу; и он пытается распространить эту идею на другие кривые как на непрерывно меняющуюся величину. ^[2]

Кривизна дифференцируемой кривой первоначально определялась через соприкасающиеся окружности . В этой постановке Огюстен-Луи Коши показал, что центр кривизны является точкой пересечения двух бесконечно близких нормальных линий к кривой. ^[3]

Воспроизвести медиа

Мигрирующая клетка Dictyostelium discoideum дикого типа , граница которой окрашена кривизной. Масштабная линейка: 5 мкм.

Векторы T и N в двух точках на плоской кривой, сдвинутая версия второго кадра (пунктирная), и δ T изменение T . Здесь δs — расстояние между точками. В пределе d T / ds будет в направлении N. Кривизна описывает скорость вращения рамки.

Анимация кривизны и вектора ускорения T ′( s )

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизн

Параллельная транспортировка вектора из A → N → B → A дает другой вектор. Эта неспособность вернуться к исходному вектору измеряется голономией поверхности.