В теории категорий , разделе математики , симметричная моноидальная категория - это моноидальная категория (т. Е. Категория, в которой «тензорное произведение» определено) так, чтобы тензорное произведение было симметричным (т. е. в определенном строгом смысле естественно изоморфно для всех объектов а также категории). Одним из типичных примеров симметричной моноидальной категории является категория векторных пространств над некоторым фиксированным полем k, использующая обычное тензорное произведение векторных пространств .
Определение
Симметричная моноидальная категория - это моноидальная категория ( C , ⊗, I ) такая, что для каждой пары A , B объектов в C существует изоморфизмэто естественно как для A, так и для B и такое, что следующие диаграммы коммутируют:
- Связность агрегата:
- Связность ассоциативности:
- Обратный закон:
На диаграммах выше a , l , r - изоморфизм ассоциативности, левый единичный изоморфизм и правый единичный изоморфизм соответственно.
Примеры
Некоторые примеры и не примеры симметричных моноидальных категорий:
- Категория множеств . Тензорное произведение - это декартово теоретико-множественное произведение, и любой синглтон можно зафиксировать как единичный объект.
- Категория групп . Как и раньше, тензорное произведение - это просто декартово произведение групп, а тривиальная группа - это единичный объект.
- В более общем смысле любая категория с конечными произведениями, то есть декартова моноидальная категория , является симметричной моноидальной. Тензорное произведение является прямым произведением объектов, а любой конечный объект (пустой продукт) является единичным объектом.
- Категория бимодулей над кольцом R является моноидальной ( с помощью обычного тензорного произведения модулей), но не обязательно симметричен. Если R коммутативно, категория левых R -модулей симметрична моноидальна. Последний примерный класс включает категорию всех векторных пространств над данным полем.
- Для поля k и группы (или алгебры Ли над k ) категория всех k- линейных представлений группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией. Здесь используется стандартное тензорное произведение представлений.
- Категории ( Ste ,) и ( Ste ,) стереотипных пространств надявляются симметричными моноидальными, причем ( Ste ,) - замкнутая симметрическая моноидальная категория с внутренним гом-функтором.
Характеристики
Классифицирующее пространство (геометрическая реализация нерва ) симметричной моноидальной категория являетсяпространство, поэтому его групповое завершение представляет собой бесконечное пространство петель . [1]
Специализации
Крестик симметричная моноидалъная категорией является симметричными моноидальными категориями с совместимой структурой кинжала .
А космос является полным cocomplete закрыт симметричной моноидалъной категорией.
Обобщения
В симметричной моноидальной категории естественные изоморфизмы являются их собственными инверсиями в том смысле, что. Если мы откажемся от этого требования (но все же потребуем, чтобы быть естественно изоморфным ), мы получаем более общее понятие сплетенной моноидальной категории .
Рекомендации
- ^ Роберт Уэйн Томасон , "Симметричные моноидальные категории, моделирующие все соединительные спектры" , Теория и приложения категорий , Vol. 1 , № 5, 1995, с. 78–118.
- Симметричная моноидальная категория в nLab
- Эта статья включает материал из категории «Симметричные моноидальные» на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .