Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Такнод в начале кривой, определяемой как ( x 2 + y 2 −3 x ) 2 −4 x 2 (2 − x) = 0

В классической алгебраической геометрии , А точка самоприкосновение (также называется точкой соприкосновения или двойного острие ) [1] является своим родом особой точки кривого . Он определяется как точка, в которой две (или более) соприкасающиеся окружности с кривой в этой точке касаются друг друга . Это означает, что две ветви кривой имеют обычное касание в двойной точке. [1]

Канонический пример:

Так узел произвольной кривой может быть затем определен из этого примера как точка самокасания, локально диффеоморфная точке в начале этой кривой. Другой пример тактического узла дается кривой звеньев, показанной на рисунке, с уравнением

Более общие сведения [ править ]

Рассмотрим гладкую действительную функцию двух переменных , скажем, f ( x ,  y ), где x и y - действительные числа . Таким образом, f - это функция от плоскости к прямой. Пространство все такого гладких функций действовало на по группе из диффеоморфизмов плоскости и диффеоморфизмам линии, т.е. диффеоморфных изменений координат как в источнике и цели . Это действие разбивает все функциональное пространство наклассы эквивалентности , т. е. орбиты действия группы.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается A k ± , где k - неотрицательное целое число . Это обозначение ввел В.И. Арнольд . Функция f называется функцией типа A k ±, если она лежит на орбите x 2  ±  y k +1 , т. Е. Существует диффеоморфное изменение координаты в источнике и цели, которое переводит f в одну из этих форм. Эти простые формы x 2  ±  y k +1, как говорят, задают нормальные формы для типаA k ± -особенности.

Кривая с уравнением f = 0 будет иметь тактовый узел, скажем, в начале координат, если и только если f имеет особенность типа A 3 - в начале координат.

Обратите внимание, что узел ( x 2  -  y 2 = 0) соответствует типу A 1 - -особенности. Такнод соответствует типу А 3 - -особенности. Фактически каждая особенность типа A 2 n +1 - , где n ≥ 0 - целое число, соответствует кривой с самопересечением. С увеличением n порядок самопересечения увеличивается: поперечное пересечение, обычное касание и т. Д.

Особенности типа A 2 n +1 + не представляют интереса над действительными числами: все они дают изолированную точку. Над комплексными числами тип A 2 n +1 + -особенности и тип A 2 n +1 - -особенности эквивалентны: ( x , y ) → ( x , iy ) дает требуемый диффеоморфизм нормальных форм.

См. Также [ править ]

  • Acnode
  • Чаши или спинодал
  • Crunode

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке , MAA Spectrum, Mathematical Association of America , p. 217, ISBN 978-0-88385-511-9.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Такнод» . MathWorld .