Теорема Фалеса

Теорема Фалеса: если AC - диаметр, а B - точка на окружности диаметра, угол ABC - прямой угол.

В геометрии , Фалес теорема утверждает , что если А, В, и С являются различными точками на окружности , где линия переменного ток представляет собой диаметр , то угол АВС является прямым углом . Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о вписанном угле и упоминается и доказывается как часть 31-го предложения в третьей книге « Элементов » Евклида . ^[1] Обычно его приписывают Фалесу Милетскому, но иногда приписывают Пифагору .

История [ править ]

o se del mezzo cerchio faru si puote

Triangol sì ch'un retto non avesse.

Или если полукругом можно сделать

Треугольник так, чтобы у него не было прямого угла.

Парадизо Данте , Песнь 13, строки 101–102. Английский перевод Генри Уодсворта Лонгфелло .

О сочинении Фалеса ничего не сохранилось; Работы, выполненные в Древней Греции, как правило, приписывались людям мудрости без уважения ко всем лицам, вовлеченным в какие-либо конкретные интеллектуальные построения - это особенно верно в отношении Пифагора. Атрибуция действительно имела место в более позднее время. ^[2] Ссылка на Фалеса была сделана Проклом и Диогеном Лаэртиусом, документально подтверждающим заявление Памфилы о том, что Фалес ^[3] «был первым, кто вписал в круг прямоугольный треугольник».

Индийские и вавилонские математики знали это в особых случаях до того, как это доказал Фалес. ^[4] Считается, что Фалес узнал, что угол, начертанный в полукруге, является прямым углом во время своего путешествия в Вавилон . ^[5] Теорема названа в честь Фалеса, потому что древние источники утверждали, что он был первым, кто доказал теорему, используя свои собственные результаты о том, что базовые углы равнобедренного треугольника равны, а сумма углов в треугольнике равен 180 °.

Paradiso Данте (песнь 13, строки 101–102) обращается к теореме Фалеса в ходе речи.

Доказательство [ править ]

Первое доказательство [ править ]

Используются следующие факты: сумма углов в треугольнике равна 180 °, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.

При условии, что AC - это диаметр , угол при B является постоянным прямым (90 °).
Рисунок для доказательства.

Поскольку OA = OB = OC , ∆OBA и ∆OBC равнобедренные треугольники, и по равенству углов основания равнобедренного треугольника ∠OBC = ∠OCB и ∠OBA = ∠OAB.

Пусть α = ∠BAO и β = ∠OBC. Три внутренних угла треугольника ∆ABC - это α , ( α + β ) и β . Поскольку сумма углов треугольника равна 180 °, имеем

{\ Displaystyle \ альфа + \ влево (\ альфа + \ бета \ вправо) + \ бета = 180 ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle 2 \ альфа +2 \ бета = 180 ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle 2 (\ альфа + \ бета) = 180 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \, следовательно, \ alpha + \ beta = 90 ^ {\ circ}.}

QED

Второе доказательство [ править ]

Теорема может быть доказана с помощью тригонометрии : Пусть , , и . Тогда B - точка на единичной окружности . Покажем , что ΔABC образует прямой угол, доказав , что AB и BC являются перпендикулярно - то есть, продукт их склонов равен -1. Рассчитываем уклоны для AB и BC : ${\ Displaystyle O = (0,0)}$ ${\ Displaystyle А = (- 1,0)}$ ${\ Displaystyle C = (1,0)}$ ${\ Displaystyle (\ соз \ тета, \ грех \ тета)}$

{\ displaystyle m_ {AB} = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta + 1}}}

и

{\ displaystyle m_ {BC} = {\ frac {y_ {B} -y_ {C}} {x_ {B} -x_ {C}}} = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta - 1}}}

Затем мы показываем, что их произведение равно −1:

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end{aligned}}

Обратите внимание на использование тригонометрической идентичности Пифагора . $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

Третье доказательство [ править ]

Теорема Фалеса и размышления

Позвольте быть треугольником в круге, где - диаметр в этом круге. Затем постройте новый треугольник , отразив треугольник над линией, а затем снова отразив его над линией, перпендикулярной которой проходит через центр круга. Так как линия и являются параллельными , также для и , то четырехугольник является параллелограммом . Поскольку прямые и являются диаметрами окружности и, следовательно, имеют одинаковую длину, параллелограмм должен быть прямоугольником. Все углы в прямоугольнике - прямые. $ABC$ $AB$ $ABD$ $ABC$ $AB$ $AB$ $AC$ $BD$ $AD$ $CB$ $ACBD$ $AB$ $CD$

Converse [ править ]

Для любого треугольника и, в частности, любого прямоугольного треугольника существует ровно один круг, содержащий все три вершины треугольника. ( Схема доказательства . Географическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек, представляет собой прямую линию, которая называется серединным перпендикуляром отрезка прямой, соединяющего точки. Серединные перпендикуляры любых двух сторон треугольника пересекаются ровно в одной точке. Эта точка должны быть равноудалены от вершин треугольника.) Эта окружность называется описанной окружностью треугольника.

Один из способов сформулировать теорему Фалеса: если центр описанной окружности треугольника лежит на треугольнике, то треугольник является прямым, а центр его описанной окружности лежит на его гипотенузе.

Обратное к теореме Фалеса таково: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. (Эквивалентно, гипотенуза прямоугольного треугольника - это диаметр его описанной окружности.)

Доказательство обратного с помощью геометрии [ править ]

Рисунок для доказательства обратного

Это доказательство состоит из `` завершения '' прямоугольного треугольника, чтобы сформировать прямоугольник, и наблюдения за тем, что центр этого прямоугольника равноудален от вершин и, следовательно, является центром описывающей окружности исходного треугольника, оно использует два факта:

смежные углы в параллелограмме являются дополнительными (добавляют к 180 ° ) и,
диагонали прямоугольника равны и пересекают друг друга в средней точке.

Пусть есть прямой угол ∠ABC, ra, параллельный BC, проходящий через A, и прямая sa, параллельная AB, проходящая через C. Пусть D - точка пересечения прямых r и s (Отметим, что не было доказано, что D лежит по кругу)

Четырехугольник ABCD по построению образует параллелограмм (так как противоположные стороны параллельны). Так как в параллелограмме соседние углы являются дополнительными (добавить к 180 °) и ABC - прямой угол (90 °), то углы ∠BAD, ∠BCD и ∠ADC также прямые (90 °); следовательно, ABCD - прямоугольник.

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда точка O, согласно второму факту выше, равноудалена от A, B и C. Таким образом, O - центр описывающей окружности, а гипотенуза треугольника ( AC ) - диаметр окружности.

Альтернативное доказательство обратного с помощью геометрии [ править ]

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC.$ Построим окружность Ω диаметром $AC$ . Пусть $O$ - центр Ω. Пусть $D$ - пересечение Ω и луча $OB$ . По теореме Фалеса ∠ $ADC$ прав. Но тогда $D$ должен быть равен $B$ . (Если $D$ лежит внутри ∆ $ABC$ , $ADC$ будет тупым, а если $D$ лежит вне ∆ $ABC$ , ∠ $ADC$ будет острым.)

Доказательство обратного с помощью линейной алгебры [ править ]

Это доказательство использует два факта:

две прямые образуют прямой угол тогда и только тогда, когда скалярное произведение их векторов направления равно нулю, и
квадрат длины вектора дается скалярным произведением вектора на себя.

Пусть есть прямой угол ∠ABC и окружность M с диаметром AC . Пусть центр M лежит в начале координат, для облегчения вычислений. Тогда мы знаем

A = - C, потому что круг с центром в начале координат имеет диаметр AC , и
(A - B) · (B - C) = 0, поскольку ∠ABC - прямой угол.

Следует

0 = (A - B) · (B - C) = (A - B) · (B + A) = | A | ² - | B | ² .

Следовательно:

| A | = | B |.

Это означает , что и В находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, т.е. от центра М . Поскольку A лежит на M , то же самое и с B , поэтому окружность M является описанной окружностью треугольника.

Вышеприведенные вычисления фактически устанавливают, что оба направления теоремы Фалеса справедливы в любом внутреннем пространстве продукта .

Обобщения и связанные результаты [ править ]

Теорема Фалеса является частным случаем следующей теоремы:

Для трех точек A, B и C на окружности с центром O угол ∠AOC вдвое больше угла ∠ABC.

См. Вписанный угол , доказательство этой теоремы очень похоже на доказательство теоремы Фалеса, приведенное выше.

Связанный с теоремой Фалес результат следующий:

Если AC - диаметр окружности, то:

Если B находится внутри круга, то ∠ABC> 90 °
Если B находится на окружности, то ∠ABC = 90 °
Если B находится вне круга, то ∠ABC <90 °.

Заявление [ править ]

Построение касательной по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса может быть использована для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку. На рисунке справа дана окружность k с центром O и точка P вне k , разделите OP пополам в H и нарисуйте окружность радиуса OH с центром H. OP - диаметр этой окружности, поэтому треугольники, соединяющие OP с точками T и T ′ в местах пересечения кругов являются прямоугольными треугольниками.

Геометрический метод нахождения с помощью теоремы о среднем геометрическом с

{\sqrt {p}}

h={\sqrt {pq}}

q=1

Теорема Фалеса также может использоваться, чтобы найти центр круга, используя объект с прямым углом, такой как установленный квадратный или прямоугольный лист бумаги, больший, чем круг. ^[6] Уголок помещается в любом месте его окружности (рис. 1). Пересечения двух сторон с окружностью определяют диаметр (рисунок 2). Повторение этого с другим набором пересечений дает другой диаметр (рис. 3). Центр находится на пересечении диаметров.

Иллюстрация использования теоремы Фалеса и прямого угла для нахождения центра круга

См. Также [ править ]

Синтетическая геометрия
Обратная теорема Пифагора

Заметки [ править ]

^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [ua]: Dover Publ. п. 61 . ISBN 0486600890.
^ Аллен, Г. Дональд (2000). "Фалес Милетский" (PDF) . Проверено 12 февраля 2012 .
^ Патронис, Т .; Пацопулос, Д. Теорема Фалеса: исследование именования теорем в школьных учебниках геометрии . Патрский университет . Проверено 12 февраля 2012 .
^ де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , Том 3, стр. 14. ISBN 92-3-102812-X
Перейти ↑ Boyer, Carl B. and Merzbach, Uta C. (2010). История математики . Джон Уайли и сыновья, Глава IV. ISBN 0-470-63056-6
^ Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер

Ссылки [ править ]

Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . AMS. п. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.( ограниченная копия в Интернете , стр. 50, в Google Книгах )
Хит, TL (1921). История греческой математики: от Фалеса до Евклида . Я . Оксфорд. стр. 131 и далее.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Фалеса" . MathWorld .
Жевание начертанных углов
Объяснение теоремы Фалеса с интерактивной анимацией
Демонстрации теоремы Фалеса Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .

[1] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [ua]: Dover Publ. п. 61 . ISBN 0486600890.

[2] Аллен, Г. Дональд (2000). "Фалес Милетский" (PDF) . Проверено 12 февраля 2012 .

[Poetics-3] Патронис, Т .; Пацопулос, Д. Теорема Фалеса: исследование именования теорем в школьных учебниках геометрии . Патрский университет . Проверено 12 февраля 2012 .

[4] де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , Том 3, стр. 14. ISBN 92-3-102812-X

[5] Перейти ↑ Boyer, Carl B. and Merzbach, Uta C. (2010). История математики . Джон Уайли и сыновья, Глава IV. ISBN 0-470-63056-6

[6] Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер

[1]