« Неоправданная эффективность математики в естественных науках » - это статья физика Юджина Вигнера в 1960 году . [1] В работе Вигнера отмечает , что физическая теория «сек математическая структура часто указывает путь к дальнейшим достижениям в этой теории , и даже до эмпирических предсказаний.
Чудо математики в естествознании
Вигнер начинает свою статью с убеждения, распространенного среди тех, кто знаком с математикой, что математические концепции имеют применимость далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Основываясь на своем опыте, он пишет, «важно указать, что математическая формулировка зачастую грубого опыта физиков приводит в невероятном количестве случаев к удивительно точному описанию большого класса явлений». Затем он приводит в качестве примера фундаментальный закон тяготения . Первоначально использовавшийся для моделирования свободно падающих тел на поверхность Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер назвал «очень скудными наблюдениями», для описания движения планет, где он «оказался точным, превзошедшим все разумные ожидания».
Другой часто цитируемый пример - уравнения Максвелла , полученные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных как середина 19 века. Уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время смерти Джеймса Клерка Максвелла . Вигнер резюмирует свой аргумент, говоря, что «огромная полезность математики в естественных науках - это нечто, граничащее с загадочным, и этому нет никакого рационального объяснения». Он завершает свою статью тем же вопросом, с которого начал:
Чудо того, что язык математики пригоден для формулирования законов физики, - это чудесный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за это и надеяться, что он останется актуальным для будущих исследований и что он будет распространяться, к лучшему или худшему, к нашему удовольствию, даже если, возможно, также к нашему недоумению, на широкие области обучения.
Глубокая связь между наукой и математикой
Работа Вигнера позволила по-новому взглянуть как на физику, так и на философию математики , и довольно часто цитировалась в академической литературе по философии физики и математики. Вигнер размышлял о взаимосвязи между философией науки и основаниями математики следующим образом:
Трудно избежать впечатления, что здесь перед нами предстает чудо, вполне сопоставимое по своей поразительной природе с чудом, что человеческий разум может связать тысячи аргументов вместе, не вступая в противоречия, или с двумя чудесами законов природы и законов природы. способность человеческого разума предугадывать их.
Позже Хилари Патнэм (1975) объяснила эти «два чуда» как необходимые следствия реалистического (но не платонического) взгляда на философию математики . [2] Но в отрывке, в котором обсуждается когнитивная предвзятость, которую Вигнер осторожно назвал «ненадежной», он пошел дальше:
Автор убежден, что в эпистемологических дискуссиях полезно отказаться от идеализации, согласно которой уровень человеческого интеллекта занимает исключительное положение на абсолютной шкале. В некоторых случаях может быть даже полезно рассмотреть достижение, которое возможно на уровне интеллекта некоторых других видов.
Могут ли люди, проверяющие результаты людей, считаться объективной основой для наблюдений за известной (людям) вселенной, - это интересный вопрос, который рассматривается как в космологии, так и в философии математики .
Вигнер также изложил проблему когнитивного подхода к интеграции наук:
Гораздо более трудная и запутанная ситуация возникла бы, если бы мы однажды смогли создать теорию феноменов сознания или биологии, которая была бы столь же последовательной и убедительной, как наши нынешние теории неодушевленного мира.
Он также предложил найти аргументы, которые могли бы
подвергает серьезному испытанию нашу веру в наши теории и нашу веру в реальность концепций, которые мы формируем. Это вызвало бы у нас чувство глубокого разочарования в поисках того, что я назвал «истиной в последней инстанции». Причина, по которой такая ситуация возможна, заключается в том, что, по сути, мы не знаем, почему наши теории так хорошо работают. Следовательно, их точность не может доказывать их истинность и последовательность. В самом деле, автор считает, что что-то похожее на ситуацию, описанную выше, существует, если противостоять нынешним законам наследственности и физики.
Ответы на оригинальную статью Вигнера
Оригинальная статья Вигнера вызвала и вдохновила множество откликов в широком диапазоне дисциплин. К ним относятся Ричард Хэмминг [3] по информатике, Артур Леск по молекулярной биологии, [4] Питер Норвиг по интеллектуальному анализу данных, [5] Макс Тегмарк по физике, [6] Айвор Граттан-Гиннесс по математике [7] и Вела Велупиллай в экономика. [8]
Ричард Хэмминг
Ричард Хэмминг , прикладной математик и основатель информатики , размышлял о необоснованной эффективности Вигнера и расширял ее в 1980 году, обдумывая четыре «частичных объяснения» этой теории . [3] Хэмминг пришел к выводу, что четыре приведенных им объяснения неудовлетворительны. Они были:
1. Люди видят то, что ищут . Убеждение, что наука обоснована экспериментально, верно лишь отчасти. Скорее, наш интеллектуальный аппарат таков, что многое из того, что мы видим, исходит от очков, которые мы надеваем. Эддингтон зашел так далеко, что заявил, что достаточно мудрый ум может вывести всю физику, проиллюстрировав свою точку зрения следующей шуткой: «Некоторые люди ловили рыбу в море с сетью, и, изучив то, что они поймали, они пришли к выводу, что существует минимальный размер рыбы в море ".
Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли из используемых математических инструментов, а не из внутренних свойств физической реальности.
- Хэмминг предполагает, что Галилей открыл закон падающих тел не путем экспериментов, а путем простого, хотя и осторожного мышления. Хэмминга воображает Galileo , как включившись в следующий мысленный эксперименте (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическое рассуждением», описан в книге Галилея О движении . [9] ):
Предположим, что падающее тело разбилось на две части. Конечно, две части сразу же замедлялись бы до своих подходящих скоростей. Но предположим далее, что один кусок коснулся другого. Будут ли они теперь единым целым и ускоряться вместе? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько сильно я должен это сделать, чтобы они стали единым целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две штуки - одно?
Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей заключил бы, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение в Pólya (1963: 83-85). [10] Отчет Хэмминга не раскрывает осведомленности о научных дебатах 20-го века о том, что именно сделал Галилей. [ требуется разъяснение ]
- Закон обратных квадратов всемирного тяготения обязательно следует из сохранения энергии и пространства, имеющего три измерения . [ необходимая цитата ] Измерение экспоненты в законе всемирного тяготения - это скорее проверка того, является ли пространство евклидовым, чем проверка свойств гравитационного поля .
- Неравенство в сердце принципа неопределенности в квантовой механике следует из свойств интегралов Фурье и от принятия времени инвариантность [11] [ править ] .
- Хэмминг утверждает, что новаторская работа Альберта Эйнштейна по специальной теории относительности была в значительной степени «схоластической» по своему подходу. Он с самого начала знал, как должна выглядеть теория (хотя он знал это только из-за эксперимента Майкельсона-Морли ), и исследовал возможные теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Хэмминг утверждает, что Эйнштейн был настолько уверен в правильности своих теорий относительности, что результаты наблюдений, предназначенных для их проверки, не очень его интересовали. Если бы наблюдения не соответствовали его теориям, то ошибались бы наблюдения.
2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации . Под рукой математика не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил , были изобретены сначала векторы , а затем тензоры .
3. Математика затрагивает только часть человеческого опыта . Большая часть человеческого опыта относится не к науке или математике, а к философии ценностей , включая этику , эстетику и политическую философию . Утверждать, что мир можно объяснить с помощью математики, равносильно действию веры.
4. Эволюция научила людей мыслить математически . Самые ранние формы жизни, должно быть, содержали в себе семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам близких рассуждений.
Макс Тегмарк
Другой ответ, выступил физик Тегмарк , что физика настолько успешно описывается математикой , потому что физический мир является полностью математическим , изоморфной математической структуры, и что мы просто раскрыть этот бит за битом. [6] [12] Такое же толкование было выдвинуто несколькими годами ранее Питером Аткинсом . [13] В этой интерпретации различные приближения, составляющие наши текущие теории физики, успешны, потому что простые математические структуры могут обеспечить хорошие приближения некоторых аспектов более сложных математических структур. Другими словами, наши успешные теории - это не математика, приближающая физику, а математика, приближающуюся к математике. Большинство предложений Тегмарка в высшей степени спекулятивны, а некоторые из них даже далеки от строгих научных стандартов, и они поднимают один основной вопрос: можно ли точно понять понятие изоморфизма (а не махать рукой «соответствие») между Вселенная - конкретный мир «вещей» и событий - с одной стороны, и математические структуры, как они понимаются математиками в рамках математики? Если - или оптимистично, пока - это не будет достигнуто, часто звучащее утверждение о том, что «мир / вселенная является математическим», может быть не чем иным, как категориальной ошибкой .
Айвор Граттан-Гиннесс
Айвор Граттан-Гиннесс счел рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой с помощью таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора. [7]
Связанные цитаты
[W] ir auch, gleich als ob es ein glücklicher unsre Absicht Begünstigender Zufall wäre, erfreuet (eigentlich eines Bedürfnisses entledigt) werden, wenn wir eine solche systematische Einheit unter bloß empirischen gesetzen antledigt. [Мы радуемся (на самом деле мы избавлены от нужды), когда, как если бы это была удачная случайность, благоприятствующая нашей цели, мы действительно находим такое систематическое единство среди простых эмпирических законов.].
- Иммануил Кант [14]
Самое непонятное во Вселенной - это то, что она постижима.
- Альберт Эйнштейн [15]
Как может быть, что математика, будучи, в конце концов, продуктом человеческой мысли, независимой от опыта, настолько превосходно подходит для объектов реальности? [...] На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности.
- Альберт Эйнштейн [16]
Физика математическая не потому, что мы так много знаем о физическом мире, а потому, что знаем так мало; мы можем обнаружить только его математические свойства.
- Бертран Рассел [17]
Есть только одна вещь, которая более неразумна, чем неразумная эффективность математики в физике, и это необоснованная неэффективность математики в биологии.
- Израиль Гельфанд [18]
Науки достигают точки, когда они становятся математизированными ... центральные вопросы в этой области становятся достаточно понятными, чтобы их можно было рассматривать математически ... [к началу 1990-х годов] биология больше не была наукой о вещах, которые странно пахли в холодильнике (мой взгляд со студенческих лет в 1960-х). Эта область претерпевала революцию и быстро приобретала глубину и силу, ранее ассоциируемую исключительно с физическими науками. Биология теперь была изучением информации, хранящейся в ДНК - цепочек из четырех букв: A, T, G и C ... и преобразований, которым информация претерпевает в клетке. Здесь была математика!
- Леонард Адлеман , теоретик-компьютерщик, пионер в области вычислений ДНК [19] [20]
Мы должны перестать вести себя так, как будто наша цель - создать чрезвычайно элегантные теории, и вместо этого принять сложность и использовать лучшего союзника, который у нас есть: необоснованную эффективность данных.
- Питер Норвиг [5]
Смотрите также
- Космология
- Основы математики
- Марк Штайнер
- Гипотеза математической вселенной
- Философия науки
- Квазиэмпиризм в математике
- Связь математики и физики
- Научный структурализм
- Неоправданная неэффективность математики
- Откуда пришла математика
Рекомендации
- Перейти ↑ Wigner, EP (1960). «Неоправданная эффективность математики в естественных науках. Лекция Ричарда Куранта по математическим наукам, прочитанная в Нью-Йоркском университете, 11 мая 1959 года» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 : 1–14. Bibcode : 1960CPAM ... 13 .... 1W . DOI : 10.1002 / cpa.3160130102 .
- ^ Патнэм, Хилари (1975). "Что такое математическая истина?" . Historia Mathematica . 2 (4): 529–543. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (75) 90116-0 .
Перепечатано в Патнэм, Хилари (1975). Математика, материя и метод: философские статьи . 1 . Издательство Кембриджского университета. С. 60–78 . ISBN 978-0-521-20665-5. - ^ а б Хэмминг, Р.В. (1980). «Неоправданная эффективность математики» . Американский математический ежемесячник . 87 (2): 81–90. DOI : 10.2307 / 2321982 . ЛВП : 10945/55827 . JSTOR 2321982 .
- ^ Леск, AM (2000). «Неоправданная эффективность математики в молекулярной биологии». Математический интеллигент . 22 (2): 28–37. DOI : 10.1007 / BF03025372 .
- ^ а б Галеви, А .; Norvig, P .; Перейра, Ф. (2009). «Неоправданная эффективность данных» (PDF) . Интеллектуальные системы IEEE . 24 (2): 8–12. DOI : 10.1109 / MIS.2009.36 .
- ^ а б Тегмарк, Макс (2008). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Bibcode : 2008FoPh ... 38..101T . DOI : 10.1007 / s10701-007-9186-9 .
- ^ а б Граттан-Гиннесс, И. (2008). «Решение тайны Вигнера: разумная (хотя, возможно, ограниченная) эффективность математики в естественных науках». Математический интеллигент . 30 (3): 7–17. DOI : 10.1007 / BF02985373 .
- ^ Велупиллай, К.В. (2005). «Необоснованная неэффективность математики в экономике». Кембриджский журнал экономики . 29 (6): 849–872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . DOI : 10.1093 / CJE / bei084 .
- ^ Ван Хелден, Альберт (1995). «В движении» . Проект Галилео . Проверено 16 октября 2013 года .
- ^ Полиа, Джордж ; Боуден, Леон ; Школьная группа по изучению математики (1963). Математические методы в науке; курс лекций . Исследования по математике. 11 . Стэнфорд: школьная группа по изучению математики. OCLC 227871299 .
- ^ Фолланд, Джеральд Б.; Ситарам, Аллади (1997). «Принцип неопределенности: математический обзор». Журнал анализа и приложений Фурье . 3 (3): 207–238. DOI : 10.1007 / BF02649110 .
- ^ Тегмарк, Макс (2014). Наша математическая вселенная . Кнопф. ISBN 978-0-307-59980-3.
- ^ Аткинс, Питер (1992). Возвращение к созданию . WHFreeman. ISBN 978-0-7167-4500-6.
- ↑ Иммануил Кант, Критика суждения , 1790.
- ^ Эйнштейн, Альберт (март 1936 г.). «Физика и реальность». Журнал Института Франклина . 221 (3): 349–382. Bibcode : 1936FrInJ.221..349E . DOI : 10.1016 / S0016-0032 (36) 91047-5 .
- ^ Ньюман, Джеймс Р. (1956). Мир математики . Саймон и Шустер.
- ^ Бертран Рассел (1927). Очерк философии . Джордж Аллен и Анвин.
- ^ "комментарии" . Архивировано 12 декабря 2006 года . Проверено 10 августа 2009 .CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )от Александра Боровика , 26 ноября 2006 года, обсуждая свои собственные книги математику под микроскопом , Александр Боровик , 2006
- ↑ Джин Джинн
- ^ Адлеман, Леонард М. (1998). «Компьютеры с ДНК». Scientific American . 279 (2): 54–61. Bibcode : 1998SciAm.279b..54A . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0898-54 .
дальнейшее чтение
- Сундар Саруккай (10 февраля 2005 г.). «Возвращаясь к« необоснованной эффективности »математики» (PDF) . Современная наука . 88 (3).[ постоянная мертвая ссылка ]
- Касман, Алекс (апрель 2003 г.). «Неоправданная эффективность» . Журнал Math Horizons . 10 (4): 29–31. DOI : 10.1080 / 10724117.2003.12023669 ., кусок «математической фантастики».
- Коливан, Марк (весна 2015 г.). «Аргументы незаменимости в философии математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
- Бангу, Сорин (2012). Применимость математики в науке: незаменимость и онтология . Новые направления философии науки. Лондон: Плаграв Макмиллан. ISBN 978-0230285200.
- Вулховер, Натали (9 декабря 2019 г.). «Почему законы физики неизбежны» . Журнал Quanta .