Закон Торричелли

Закон Торричелли описывает скорость разделения струи воды, основанную на расстоянии ниже поверхности, на котором начинается струя, при условии отсутствия сопротивления воздуха, вязкости или других препятствий потоку жидкости. На этой диаграмме показано несколько таких форсунок, выровненных по вертикали, выходящих из резервуара горизонтально. В этом случае форсунки имеют оболочку (концепция также принадлежит Торричелли), которая представляет собой линию, спускающуюся под 45 ° от поверхности воды над форсунками. Каждая струя достигает большего, чем любая другая струя, в точке соприкосновения с оболочкой, которая находится на двойной глубине источника струи. Глубина пересечения двух струй равна сумме глубин их источников. Каждая струя (даже если не выходит горизонтально) движется по параболической траектории, направляющей которой является поверхность воды.

Закон Торричелли , также известный как теорема Торричелли , представляет собой теорему гидродинамики, связывающую скорость потока жидкости из отверстия с высотой жидкости над отверстием. Закон гласит, что скорость v истечения жидкости через отверстие с острыми краями на дне резервуара, заполненного до глубины h, равна скорости, которую тело (в данном случае капля воды) приобретет в свободно падающий с высоты h , т. е. где g - ускорение свободного падения (9,81 м / с ² у поверхности Земли). Это выражение происходит от приравнивания полученной кинетической энергии к потерянной потенциальной энергии mgh${\ displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} мв ^ {2}}$, и решение для v . Этот закон был открыт (хотя и не в такой форме) итальянским ученым Евангелистой Торричелли в 1643 году. Позже было показано, что это частный случай принципа Бернулли .

Вывод [ править ]

В предположениях в несжимаемой жидкости с пренебрежимо малой вязкостью , принцип Бернулли устанавливает , что

${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gy + {\ frac {p} {\ rho}} = {\ text {constant}},}$

где скорость жидкости, ускорение свободного падения (около 9,81 м / с ² на поверхности Земли), высота над некоторой контрольной точкой, давление и плотность. Таким образом, для любых двух точек жидкости${\ displaystyle v}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ frac {{v_ {1}} ^ {2}} {2}} + g_ {1} y_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + g_ {2} y_ {2} + {\ frac {p_ {2}} {\ rho _ {2}}}.}$

Первую точку можно взять на поверхности жидкости, а вторую - сразу за пределами отверстия. Поскольку жидкость считается несжимаемой, равно ; оба могут быть представлены одним символом . Кроме того, когда отверстие очень маленькое по сравнению с горизонтальным поперечным сечением контейнера, предполагается, что скорость поверхности пренебрежимо мала ( ). предполагается практически одинаковым в обеих точках, поэтому .${\ displaystyle \ rho _ {1}}$${\ displaystyle \ rho _ {2}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle v_ {1} = 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g_ {1} = g_ {2} = g}$

${\ displaystyle gy_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} = {\ frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + gy_ {2} + {\ гидроразрыв {p_ {2}} {\ rho}}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow v_ {2} = {\ sqrt {2g (y_ {1} -y_ {2}) + 2 (p_ {1} -p_ {2}) / \ rho}}.}$

${\displaystyle y_{1}-y_{2}}$равна высоте поверхности жидкости над отверстием. и обычно оба имеют атмосферное давление, так что .${\displaystyle h}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0}$

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {2gh}}.}$

Экспериментальные доказательства [ править ]

Закон Торричелли можно продемонстрировать в эксперименте с изливом, который призван показать, что в жидкости с открытой поверхностью давление увеличивается с глубиной. Он состоит из трубки с тремя отдельными отверстиями и открытой поверхностью. Три отверстия перекрываются, затем трубка наполняется водой. Когда он заполнен, отверстия разблокируются. Чем ниже на трубе находится жиклер, тем он мощнее. Скорость выхода жидкости выше по трубке. ^[1]

Если не учитывать вязкость и другие потери, если сопла направлены вертикально вверх, каждая струя будет достигать высоты поверхности жидкости в контейнере.

Коэффициент разряда [ править ]

Если сравнить теоретические предсказания о процессе слива резервуара с реальными измерениями, в некоторых случаях можно обнаружить очень большие различия. На самом деле бак обычно сливается намного медленнее. Чтобы получить лучшее приближение к фактически измеренному объемному расходу, на практике используется коэффициент расхода :

${\displaystyle {\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu \cdot {\dot {V}}_{\text{ideal}}}}$

Коэффициент расхода учитывает как снижение скорости истечения из-за вязкого поведения жидкости («коэффициент скорости»), так и уменьшение эффективного поперечного сечения оттока из-за контракта вены («коэффициент сжатия» ). Для жидкостей с низкой вязкостью (например, воды), вытекающих из круглого отверстия в резервуаре, коэффициент расхода составляет порядка 0,65. ^[2] Путем нагнетания через круглую трубу или шланг коэффициент нагнетания может быть увеличен до более 0,9. Для прямоугольных отверстий коэффициент расхода может достигать 0,67 в зависимости от соотношения высоты и ширины.

Приложения [ править ]

Горизонтальное расстояние, которое покрывает струя жидкости [ править ]

Если это высота отверстия над землей и высота столба жидкости над отверстием, то можно легко определить горизонтальное расстояние, преодолеваемое струей жидкости для достижения того же уровня, что и основание столба жидкости. Поскольку вертикальная высота, пройденная частицей реактивного потока, из законов падающего тела имеем${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},}$

где - время, за которое частица струи упала из отверстия на землю. Если горизонтальная скорость истечения равна , то горизонтальное расстояние, пройденное частицей струи за время, равно${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}$

Поскольку уровень воды находится выше отверстия, скорость горизонтального истечения определяется законом Торричелли. Таким образом, из двух уравнений имеем${\displaystyle H-h}$${\displaystyle v={\sqrt {2g(H-h)}},}$

${\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}.}$

Местоположение отверстия, обеспечивающего максимальный горизонтальный диапазон, определяется путем дифференцирования приведенного выше уравнения относительно и решения . Здесь у нас есть${\displaystyle D}$${\displaystyle h}$${\displaystyle dD/dh=0}$

${\displaystyle {\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}.}$

Решая, получаем${\displaystyle dD/dh=0,}$

${\displaystyle h^{*}={\frac {H}{2}},}$

и максимальная дальность

${\displaystyle D_{\max }=H.}$

Проблема Клепсидры [ править ]

Приливная клепсидра

Клепсидра это часы , которые измеряют время от потока воды. Он представляет собой горшок с небольшим отверстием на дне, через которое может вытечь вода. Количество вытекающей воды является мерой времени. Согласно закону Торричелли, скорость истечения через отверстие зависит от высоты воды; и по мере того, как уровень воды уменьшается, расход не является равномерным. Простое решение - поддерживать постоянную высоту воды. Этого можно достичь, пропуская в сосуд постоянный поток воды, который может выходить сверху через другое отверстие. Таким образом, имея постоянную высоту, воду, сбрасываемую снизу, можно собирать в другой цилиндрический сосуд с равномерной шкалой для измерения времени. Это приливная клепсидра.

В качестве альтернативы, путем тщательного выбора формы сосуда уровень воды в сосуде может снижаться с постоянной скоростью. Измеряя уровень воды, оставшейся в емкости, можно измерить время с равномерной шкалой. Это пример оттока клепсидры. Поскольку скорость истечения воды выше, когда уровень воды выше (из-за большего давления), объем жидкости должен быть больше, чем простой цилиндр, когда уровень воды высокий. То есть радиус должен быть больше, когда уровень воды выше. Пусть радиус увеличивается с высотой уровня воды над выходным отверстием области То есть ,. Мы хотим , чтобы найти радиус таким образом, что уровень воды имеет постоянную скорость снижения, то есть .${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle r=f(h)}$${\displaystyle dh/dt=c}$

При данном уровне воды площадь водной поверхности равна . Мгновенная скорость изменения объема воды составляет${\displaystyle h}$${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.}$

Согласно закону Торричелли скорость оттока равна

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=av=a{\sqrt {2gh}},}$

Из этих двух уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}a{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2ga^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}}$

Таким образом, радиус контейнера должен изменяться пропорционально корню четвертой степени из его высоты, ${\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.}$

Пора опорожнять цилиндрический сосуд [ править ]

Если предположить, что сосуд цилиндрический с фиксированной площадью поперечного сечения , с отверстием на дне, то скорость изменения высоты уровня воды непостоянна. Из предыдущих соотношений имеем${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle dh/dt}$

${\displaystyle A{\frac {dh}{dt}}=a{\sqrt {2gh}}\quad \Rightarrow \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=a{\sqrt {2g}}\;dt}$

Интегрируя обе стороны и переставляя, получаем

${\displaystyle T={\frac {A}{a}}{\sqrt {\frac {2h}{g}}},}$

где - начальная высота уровня воды и - общее время, необходимое для слива всей воды и, следовательно, опорожнения емкости.${\displaystyle h}$${\displaystyle T}$

Эта формула имеет несколько значений. Если резервуар объемом с сечением и высотой , так что , полностью заполнен, то время , чтобы слить всю воду${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle V=AH}$

${\displaystyle T={\frac {V}{a}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}.}$

Это означает, что высокие резервуары с одинаковым объемом заполнения сливаются быстрее, чем более широкие.

Аналогичным образом, если форма сосуда исходящей клепсидры не может быть изменена в соответствии с приведенными выше характеристиками, тогда нам необходимо использовать неравномерную градуировку для измерения времени. Приведенная выше формула говорит нам, что время должно быть откалибровано как квадратный корень из высоты сбрасываемой воды, точнее,${\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}.}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {A}{a}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})}$

где - время, за которое уровень воды опустится с высоты до высоты .${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$

Наконец, мы можем перестроить приведенное выше уравнение, чтобы определить высоту уровня воды как функцию времени как${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},}$

где - высота контейнера, а - время разгрузки, как указано выше.${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с законом Торричелли .

• Закон Дарси
• Динамическое давление
• Статика жидкости
• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Теоремы Гельмгольца
• Уравнения Кирхгофа
• Уравнение Кнудсена
• Уравнение Мэннинга
• Уравнение с умеренным наклоном
• Уравнение Морисона
• Уравнения Навье – Стокса
• Осеен поток
• Закон паскаля
• Закон Пуазейля
• Потенциальный поток
• Давление
• Статическое давление
• Напор
• Релятивистские уравнения Эйлера
• Разложение Рейнольдса
• Стокса поток
• Функция потока Стокса
• Функция потока
• Линии обтекания, полосы и траектории

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Т. Е. Фабер (1995). Гидродинамика для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-42969-6.
• Стэнли Миддлман, Введение в динамику жидкости: принципы анализа и проектирования ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN 978-0-471-18209-2 
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений . Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.