Из Википедии, свободной энциклопедии
  (Перенаправлено из общего отношения )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории множеств , разделе математики, последовательное отношение , также называемое отношением левой суммы , представляет собой бинарное отношение R, для которого каждый элемент области имеет соответствующий элемент диапазона (∀ x ∃ y   x R y ).

Например, в ℕ = натуральные числа отношение «меньше» (<) является последовательным. В своей области , функция является последовательной.

Рефлексивное отношение является последовательным отношение , но обратное неверно. Однако можно показать , что последовательное отношение, которое является симметричным и транзитивным, является рефлексивным. В этом случае отношение является отношением эквивалентности .

Если строгий порядок является последовательным, то он не имеет максимального элемента .

В евклидовой и аффинной геометрии последовательное свойство отношения параллельных прямых выражается аксиомой Плейфэра .

В Principia Mathematica , Б. Рассел и Н. Уайтхед относятся к «отношениям , которые генерируют серию» [1] как последовательные отношений . Их понятие отличается от этой статьи тем, что отношение может иметь конечный диапазон.

Для отношения R пусть { y : xRy } обозначает «соседнюю окрестность» x . Серийное отношение может быть эквивалентно охарактеризовано как любой элемент, имеющий непустую соседнюю окрестность. Точно так же обратное последовательное отношение - это отношение, в котором каждый элемент имеет непустую «окрестность-предшественницу». [2] Чаще обратное последовательное отношение называется сюръективным и определяется последовательным обратным отношением . [3]

В нормальной модальной логике , расширение фундаментальной аксиомы установить K по результатам серийных недвижимости в аксиоме множестве D . [4]

Алгебраическая характеристика [ править ]

Серийные отношения могут быть охарактеризованы алгебраически с помощью равенств и неравенств о композициях отношений . Если и - два бинарных отношения, то их композиция R  ; S определяется как отношение

  • Если R - последовательное отношение, то S  ; R = ∅ влечет S = ∅ для всех множеств W и отношений S ⊆ W × X , где ∅ обозначает пустое отношение . [5] [6]
  • Пусть Ь универсальное соотношение : . Характеристика [ уточнить ] последовательное отношение R является . [7]
  • Другая алгебраическая характеристика [ пояснить ] последовательного отношения включает дополнения отношений: для любого отношения S , если R является последовательным, то , где обозначает дополнение к . Эта характеристика следует из распределения состава по объединению. [5] : 57 [8]
  • Серийное отношение R контрастирует с пустым отношением ∅ в том смысле, что в то время как [5] : 63

Другие характеризации [ уточнить ] использовать отношение идентичности и обратное соотношение с :

  • [5] [3]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б. Рассел и А. Н. Уайтхед (1910) Principia Mathematica, том один, стр. 141 изИсторико-математического собрания Мичиганского университета
  2. Перейти ↑ Yao, Y. (2004). «Семантика нечетких множеств в теории грубых множеств». Сделки с необработанными наборами II . Конспект лекций по информатике . 3135 . п. 309. DOI : 10.1007 / 978-3-540-27778-1_15 . ISBN 978-3-540-23990-1.
  3. ^ a b Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / CBO9780511778810 . ISBN 9780511778810. Определение 5.8, стр. 57.
  4. ^ Джеймс Гарсон (2013) Модальная логика для философов , глава 11: Отношения между модальными логиками, рисунок 11.1, страница 220, Cambridge University Press doi : 10.1017 / CBO97811393421117.014
  5. ^ a b c d Шмидт, Гюнтер ; Стрёляйн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графы: дискретная математика для компьютерных ученых . Springer Science & Business Media . п. 54. ISBN 978-3-642-77968-8.
  6. ^ Если S ≠ ∅ и R серийно, товлечет, следовательно, отсюда. Свойство следует из противопоставления.
  7. ^ Поскольку R является последовательным, формула в понимании множеств для P верна для каждого x и z , поэтому.
  8. ^ Если R серийный, то, следовательно.
  • Цзин Тао Яо, Давиде Чуччи и Ян Чжан (2015). «Обобщенные грубые множества» . В Януше Кацпшике и Витольде Педриче (ред.). Справочник по вычислительному интеллекту . Springer. С. 413–424. ISBN 9783662435052. Здесь: страница 416.
  • Яо, ГГ; Вонг, СКМ (1995). «Обобщение приблизительных наборов с использованием отношений между значениями атрибутов» (PDF) . Труды 2-й Ежегодной совместной конференции по информационным наукам : 30–33..