Рассмотрим эллиптическую кривую в ориентированной на утроение форме Доче-Икарта-Кохеля в аффинных координатах :
Как и в других формах эллиптических кривых, можно определить некоторые «операции» между точками, такие как добавление точек или удвоение (см. Также групповой закон ). В следующих разделах приведены формулы для сложения, отрицания и удвоения. Формулы сложения и удвоения часто используются для других операций: для данной точки P на эллиптической кривой можно вычислить [n] P , где n - целое число , используя сложение и удвоение; вычисление кратных точек важно в криптографии эллиптических кривых и в факторизации эллиптических кривых Ленстры .
Добавление
Дано а также на , точка имеет координаты:
Удвоение
Учитывая точку на , точка имеет координаты:
Отрицание
Учитывая точку на , его отрицание относительно нейтрального элемента является .
Существуют также другие формулы, приведенные в [2] для кривых Доче – Икарта – Кохеля, ориентированных на утроение, для операции быстрого утроения и смешанного сложения.
Добавление
Следующий алгоритм представляет собой сумму двух точек. а также на эллиптической кривой в форме Доче-Икарта-Кохеля, ориентированной на утроение. Результат - точка. Предполагается, что и это . Стоимость этой реализации составляет 7M + 4S + 1 * a3 + 10add + 3 * 2 + 1 * 4, где M указывает умножения, S квадраты, a3 указывает умножение на константу a 3 , add представляет количество сложений обязательный.
Пример
Позволять а также аффинные точки на эллиптической кривой над :
.
Потом:
Обратите внимание, что в этом случае . Результирующая точка, что в аффинных координатах равно .
Удвоение
Следующий алгоритм представляет собой удвоение точки. на эллиптической кривой в форме Доче-Икарта-Кохеля, ориентированной на утроение. Предполагается, что, . Стоимость этой реализации составляет 2M + 7S + 1 * a2 + 1 * a3 + 12add + 2 * 2 + 1 * 3 + 1 * 8; здесь M представляет собой умножение, S - квадраты, a2 и a3 указывают умножение на константы a 2 и a 3 соответственно, а сложение указывает сложение.
Пример
Позволять быть точкой на .
Потом:
Обратите внимание, что здесь точка находится в аффинных координатах, поэтому . Результирующая точка, что в аффинных координатах равно .
Любая эллиптическая кривая бирационально эквивалентна другой, записанной в форме Вейерштрасса.
Следующая скрученная кривая Доче-Икарта-Кохеля, ориентированная на утроение :
можно преобразовать в форму Вейерштрасса с помощью карты :
Этим способом становится:
- .
И наоборот, для эллиптической кривой в форме Вейерштрасса:
- ,
можно найти "соответствующую" ориентированную на утроение кривую Доче – Икарта – Кохеля, используя следующее соотношение:
где a - корень многочлена
где
является j-инвариантом эллиптической кривой.
Обратите внимание, что в этом случае данное отображение является не только бирациональной эквивалентностью, но и изоморфизмом между кривыми.