В математическом анализе семейство функций является равностепенно непрерывным, если все функции непрерывны и имеют одинаковое изменение в заданной окрестности в точном смысле, описанном здесь. В частности, концепция применима к счетным семействам и, следовательно, последовательностям функций.
Равностепенная непрерывность появляется в формулировке теоремы Асколи , которая утверждает, что подмножество C ( X ), пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X , компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, поточечно ограничено и равностепенно непрерывно. Как следствие, последовательность в C ( X ) сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно к функции (не обязательно априори непрерывной). В частности, предел равностепенно непрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций f n либо на метрическом пространстве, либо на локально компактном пространстве [1] является непрерывным. Если, кроме того,е п являются голоморфны , то предел также голоморфна.
Принцип равномерной ограниченности утверждает, что поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами равностепенно непрерывно.
Равностепенная непрерывность между метрическими пространствами
Пусть X и Y два метрических пространства , и F семейство функций из X в Y . Обозначим через d соответствующие метрики этих пространств.
Семейство F является эквинепрерывно в точке х 0 ∈ X , если для любого е> 0 существует такое б> 0 такое , что d ( ƒ ( х 0 ), ƒ ( х )) <ε для всех ƒ ∈ F и все х такое, что d ( x 0 , x ) <δ. Семья является точечно эквинепрерывно , если он эквинепрерывен в каждой точке X . [2]
Семейства Р является равномерно эквинепрерывно , если для любого е> 0 существует такое б> 0 такое , что d ( ƒ ( х 1 ), ƒ ( х 2 )) <ε для всех ƒ ∈ F и всех х 1 , х 2 ∈ X такое, что d ( x 1 , x 2 ) <δ. [3]
Для сравнения, утверждение «все функции ƒ в F непрерывны» означает, что для любого ε> 0, любого ƒ ∈ F и любого x 0 ∈ X существует δ> 0 такое, что d ( ƒ ( x 0 ), ƒ ( x )) <ε для всех x ∈ X таких, что d ( x 0 , x ) <δ.
- Для непрерывности δ может зависеть от ε, f и x 0 .
- Для равномерной непрерывности δ может зависеть от ε и ƒ .
- Для поточечной равностепенной непрерывности δ может зависеть от ε и x 0 .
- При равномерной равностепенной непрерывности δ может зависеть только от ε.
В более общем смысле, когда X является топологическим пространством, набор F функций от X до Y называется равностепенно непрерывным в x, если для любого ε> 0 x имеет окрестность U x такую, что
для всех у ∈ U х и ƒ ∈ F . Это определение обычно появляется в контексте топологических векторных пространств .
Когда X компактно, множество равномерно равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно в каждой точке, по существу по той же причине, что и равномерная непрерывность и непрерывность совпадают на компактных пространствах. Сам по себе термин «равносвязность» может относиться как к поточечным, так и к единообразному понятию, в зависимости от контекста. На компактном пространстве эти понятия совпадают.
Некоторые основные свойства непосредственно следуют из определения. Каждый конечный набор непрерывных функций равностепенно непрерывен. Замыкание равностепенно непрерывного множества снова равностепенно непрерывно. Каждый член равномерно равностепенно непрерывного набора функций равномерно непрерывен , и каждый конечный набор равномерно непрерывных функций равномерно равностепенно непрерывен.
Примеры
- Набор функций с общей константой Липшица (равномерно) равностепенно непрерывен. В частности, это так, если набор состоит из функций с производными, ограниченными одной и той же константой.
- Принцип равномерной ограниченности дает достаточное условие равностепенной непрерывности множества линейных непрерывных операторов.
- Семейство итераций аналитической функции равностепенно непрерывно на множестве Фату . [4] [5]
Контрпримеры
- Последовательность функций f n (x) = arctan (nx) не является равностепенно непрерывной, поскольку определение нарушается при x 0 = 0
Равностепенная непрерывность отображений, значимых в топологических группах
Предположим, что T - топологическое пространство, а Y - аддитивная топологическая группа (т. Е. Группа, наделенная топологией, делающей ее операции непрерывными). Топологические векторные пространства являются яркими примерами топологических групп, и каждая топологическая группа имеет связанную каноническую однородность .
- Определение : [6] Семейство Н отображений из Т во Y называется эквинепрерывно при т ∈ T , если для любой окрестности V от 0 в Y , существует некоторая окрестность U о т в Т такое , что ч ( U ) ⊆ ч ( т ) + V для каждой ч ∈ H . Будем говорить , что H является эквинепрерывно , если он эквинепрерывно в каждой точке T .
Обратите внимание, что если H равностепенно непрерывно в точке, то каждое отображение в H непрерывно в этой точке. Ясно, что любое конечное множество непрерывных отображений из T в Y равностепенно непрерывно.
Равнепрерывные линейные операторы
Обратите внимание, что каждое топологическое векторное пространство (TVS) является топологической группой, поэтому определение равностепенно непрерывного семейства отображений, данное для топологических групп, переносится на TVS без изменений.
Характеризация равностепенно непрерывных линейных операторов
- Обозначение : Если H - семейство отображений, а U - множество, то пусть H ( U ): = h ( U ) .
Пусть Х и Y быть топологические векторные пространства (TVSS) и Н семейство линейных операторов из X во Y . Тогда следующие эквиваленты:
- H равностепенно непрерывно;
- H равностепенно непрерывна в каждой точке X ;
- H равностепенно непрерывно в некоторой точке X ;
- H равностепенно непрерывна в 0 ;
- т.е. для любой окрестности V от 0 в Y , существует окрестность U в 0 в X такой , что Н ( U ) ⊆ V (или , что эквивалентно, ч ( U ) ⊆ V для каждого ч ∈ H ).
- для любой окрестности V от 0 в Y , h −1 ( V ) - окрестность 0 в X ;
- замыкание H в L σ ( X ; Y ) равностепенно непрерывно;
- L σ ( X ; Y ) обозначает L ( X ; Y ), наделенное топологией поточечной сходимости;
- уравновешенная оболочка из H эквинепрерывна;
а если Y является локально выпуклым , то мы можем добавить к этому списку:
- выпуклая оболочка из Н эквинепрерывно; [7]
- выпуклая уравновешенная оболочка из H эквинепрерывна; [8] [7]
а если X и Y являются локально выпуклым , то мы можем добавить к этому списку:
- для любой непрерывной полунормы q на Y существует непрерывная полунорма p на X такая, что q ∘ h ≤ p для всех h ∈ H ; [7]
- Здесь, д ∘ ч ≤ р означает , что д ( ч ( х )) ≤ р ( х ) для всех х ∈ Х .
в то время как, если X имеет цилиндрическую форму, а Y локально выпуклый, мы можем добавить к этому списку:
- H ограничена в L σ ( X ; Y ) ; [9]
- H ограничена в L 𝛽 ( X ; Y ) ; [9]
- L 𝛽 ( X ; Y ) обозначает L ( X ; Y ), наделенное топологией ограниченной сходимости (т. Е. Равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X ;
а если X и Y - банаховы пространства, мы можем добавить к этому списку:
- (т.е. H равномерно ограничена по операторной норме ).
Характеризация равностепенно непрерывных линейных функционалов
Пусть X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством X ' .
Для любого подмножества H в X ' следующие утверждения эквивалентны: [7]
- H равностепенно непрерывно;
- H равностепенно непрерывна в начале координат;
- H равностепенно непрерывно в некоторой точке X ;
- H содержится в поляре некоторой окрестности 0 в X ; [8]
- (предварительно) полярная из Н есть окрестность 0 в X ;
- слабое * замыкание из Н в X ' эквинепрерывно;
- уравновешенная оболочка из H эквинепрерывна;
- выпуклая оболочка из Н эквинепрерывно;
- выпуклая уравновешенная оболочка из H эквинепрерывна; [8]
а если X является нормированным , то мы можем добавить к этому списку:
- H - сильно ограниченное подмножество X ' ; [8]
в то время как, если X является стволом, мы можем добавить к этому списку:
- H является относительно компактным в слабой * топологии на X ' ; [9]
- Н является слабым * ограничена (т.е. Н является σ ( Х ' Х ) -ограничен в X ' ); [9]
- H ограничен в топологии ограниченной сходимости (т. Е. H является ( X ' , X ) -ограниченным в X ' ). [9]
Свойства равностепенно непрерывных линейных отображений
Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха – Штейнгауза) утверждает, что множество H линейных отображений между банаховыми пространствами является равностепенно непрерывным, если оно поточечно ограничено; т.е. sup {|| h ( x ) || : Ч ∈ H} <∞ для каждого х ∈ Х . Результат можно обобщить на случай, когда Y локально выпукло, а X - пространство с бочками . [10]
Свойства равностепенно непрерывных линейных функционалов
Из теоремы Алаоглу следует, что слабое- * замыкание равностепенно непрерывного подмножестваслабо- * компактный; таким образом, каждое равностепенно непрерывное подмножество является относительно компактным. [11] [7]
Если X - любая локально выпуклая TVS, то семейство всех бочек в X и семейство всех подмножеств X ', которые являются выпуклыми, сбалансированными, замкнутыми и ограниченными в, Соответствуют друг другу по полярности (относительно ⟨ X , X # ⟩ ). [12] Отсюда следует, что локально выпуклая TVS X является бочкообразной тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножестворавностепенно непрерывно. [12]
Теорема - Предположит , что X является разъемной TVS. Тогда каждое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество- компактное метризуемое пространство (в топологии подпространств). Если к тому же X метризуемо, тоотделимо. [12]
Равнепрерывность и равномерная сходимость
Пусть X - компактное хаусдорфово пространство, и снабдим C ( X ) равномерной нормой , тем самым сделав C ( X ) банаховым пространством , а значит, и метрическим пространством. Тогда теорема Арзела – Асколи утверждает, что подмножество C ( X ) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Это аналогично теореме Гейне – Бореля , которая утверждает, что подмножества R n компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Как следствие, каждая равномерно ограничены эквинепрерывно последовательность в C ( X ) содержит подпоследовательность, равномерно сходится к непрерывной функции на X .
Ввиду теоремы Арзела – Асколи последовательность в C ( X ) сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равностепенно непрерывна и сходится поточечно. Гипотеза утверждения может быть немного ослаблена: последовательность в C ( X ) сходится равномерно, если она равностепенно непрерывна, и сходится поточечно на плотном подмножестве к некоторой функции на X (не предполагаемой непрерывной).
Пусть F J представляет собой эквинепрерывно последовательность непрерывных функций на плотное подмножество D в X . Пусть дано ε > 0. По эквинепрерывности, для каждого г ∈ D , то существует окрестность U г в г такой , что
для всех j и x ∈ U z . По плотности и компактности мы можем найти такое конечное подмножество D ′ ⊂ D , что X является объединением U z над z ∈ D ′ . Поскольку f j поточечно сходится на D ′ , существует N > 0 такое, что
всякий раз , когда г ∈ D ' и J , K > N . Следует, что
для всех J , K > N . На самом деле, если x ∈ X , то x ∈ U z для некоторого z ∈ D ′ и поэтому получаем:
- .
Следовательно, f j является Коши в C ( X ), а значит, сходится по полноте.
Эта более слабая версия обычно используется для доказательства теоремы Арцела – Асколи для сепарабельных компактных пространств. Другое следствие состоит в том, что предел равностепенно непрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций на метрическом пространстве или на локально компактном пространстве непрерывен. (См. Пример ниже.) Выше гипотеза компактности X не может быть ослаблена. Для того, чтобы видеть , что, рассмотрит финитный непрерывную функцию г на R с г (0) = 1, и рассмотрят эквинепрерывную последовательность функций { ƒ п } на R , определяемых ƒ н ( х ) = г ( х - п ) . Тогда ƒ n сходится поточечно к 0, но не сходится равномерно к 0.
Этот критерий равномерной сходимости часто бывает полезен в реальном и сложном анализе. Предположим, что нам дана последовательность непрерывных функций, поточечно сходящаяся на некотором открытом подмножестве G в R n . Как отмечалось выше, он фактически сходится равномерно на компактном подмножестве G, если он равностепенно непрерывен на компакте. На практике показать равностепенную непрерывность зачастую не так уж и сложно. Например, если последовательность состоит из дифференцируемых функций или функций с некоторой регулярностью (например, функции являются решениями дифференциального уравнения), то можно использовать теорему о среднем значении или некоторые другие виды оценок, чтобы показать, что последовательность равностепенно непрерывна. Отсюда следует, что предел последовательности непрерывен на любом компактном подмножестве G ; Таким образом, непрерывная на G . Аналогичное рассуждение можно сделать, когда функции голоморфны. Можно использовать, например, оценку Коши, чтобы показать равностепенную непрерывность (на компактном подмножестве) и сделать вывод, что предел голоморфен. Обратите внимание, что здесь важна равностепенная непрерывность. Например, ƒ n ( x ) = arctan n x сходится к кратному разрывной знаковой функции .
Обобщения
Равностепенная непрерывность в топологических пространствах
Самый общий сценарий, в котором может быть определена равностепенная непрерывность, - для топологических пространств, тогда как равномерная равностепенная непрерывность требует, чтобы фильтр окрестностей одной точки был каким-то образом сопоставим с фильтром окрестностей другой точки. Последнее чаще всего делается с помощью однородной структуры , дающей однородное пространство . Соответствующие определения в этих случаях следующие:
- Множество функций , непрерывных между двумя топологическими пространствами Х и Y является топологический эквинепрерывен в точках х ∈ Х и Y ∈ Y , если для любого открытого множества O примерно у , существует окрестности U по й и V из Y такое , что для каждых е ∈ , если пересечение F [ U ] и V не пусто, F [ U ] ⊆ O . Затем называются топологический эквинепрерывно при х ∈ Х , если он топологический эквинепрерывно по х и у для каждого у ∈ Y . Наконец, является эквинепрерывно , если эквинепрерывно в х для всех точек х ∈ X .
- Множество непрерывных функций между двумя равномерными пространствами Х и Y является равномерно эквинепрерывен , если для любого элемента W однородности на Y , то множество
- {( U, V ) ∈ X × X : для всех F ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }
- является членом равномерности на X
- Введение в равномерные пространства
Теперь мы кратко опишем основную идею, лежащую в основе единообразия.
Равномерность 𝒱 - это непустой набор подмножеств Y × Y, где, среди многих других свойств, каждое V ∈ 𝒱 , V содержит диагональ Y (т.е. {( y , y ) ∈ Y } ). Каждый элемент 𝒱 называется свита .
Равномерности обобщают идею (взятую из метрических пространств ) о точках, которые являются « r- близкими» (при r > 0 ), что означает, что их расстояние < r . Чтобы прояснить это, предположим, что ( Y , d ) - метрическое пространство (так что диагональ Y - это множество {( y , z ) ∈ Y × Y : d ( y , z ) = 0} ) Для любого r > 0 , позволять
- U r = {( y , z ) ∈ Y × Y : d ( y , z ) < r }
обозначим множество всех пар точек, являющихся r -замкнутыми. Обратите внимание , что если бы мы «забыли» , что d существует , то для любого г > 0 , то все равно будет в состоянии определить , является ли две точки Y являются г -близких с использованием только множества U ¨R . Таким образом, множества U г Encapsulate вся информация , необходимые для определения таких вещей, как равномерная непрерывность и равномерной сходимость с из необходимости любой метрики. Аксиоматизация самых основных свойств этих множеств приводит к определению единообразия . В самом деле, множества U r порождают однородность, канонически связанную с метрическим пространством ( Y , d ) .
Преимущество этого обобщения состоит в том, что теперь мы можем расширить некоторые важные определения, которые имеют смысл для метрических пространств (например, полнота ), на более широкую категорию топологических пространств. В частности, к топологическим группам и топологическим векторным пространствам .
- Более слабая концепция - это равномерная непрерывность.
- Множество непрерывных функций между двумя топологическими пространствами Х и Y называется равномерно непрерывна в точке х ∈ X и у ∈ Y , если дано любое открытое множество O , содержащее у существует окрестности ¯u из й и V из г таких , что F [ U ] ⊆ O всякий раз , когда F ( х ) ∈ V . Это равномерно непрерывно в точке х , если она равномерно непрерывна в точке х и у для каждого у ∈ Y , и равномерно непрерывна , если она равномерно непрерывна в точке х для каждого х ∈ Х .
Стохастическая равностепенная непрерывность
Стохастическая равностепенная непрерывность - это версия равностепенной непрерывности, используемая в контексте последовательностей функций случайных величин и их сходимости . [13]
Смотрите также
- Абсолютная преемственность
- Классификация несплошностей
- Грубая функция
- Непрерывная функция - математическая функция без резких изменений значения
- Непрерывная функция (теория множеств)
- Непрерывный случайный процесс
- Дини преемственность
- Функция, сохраняющая направление - аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.
- Микропрерывность
- Нормальная функция - функция ординалов в математике
- Кусочно
- Симметрично непрерывная функция
- Равномерная непрерывность - Равномерное ограничение изменения функций
Заметки
- ^ Вообще говоря, на любом компактно порожденном пространстве ; например, первое счетное пространство .
- ^ Рид и Саймон (1980) , стр. 29; Рудин (1987) , стр. 245
- ^ Рид и Саймон (1980) , стр. 29
- ^ Алан Ф. Бердон, С. Акслер, Ф. В. Геринг, К. А. Рибет: Итерация рациональных функций: сложные аналитические динамические системы. Springer, 2000; ISBN 0-387-95151-2 , ISBN 978-0-387-95151-5 ; стр. 49
- ^ Джозеф Х. Сильверман: арифметика динамических систем. Спрингер, 2007. ISBN 0-387-69903-1 , ISBN 978-0-387-69903-5 ; стр. 22
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 133-136.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.
- ^ a b c d Trèves 2006 , стр. 335-345.
- ^ а б в г д Трев 2006 , стр. 346-350.
- ^ Шефер 1966 , теорема 4.2.
- ^ Шефер 1966 , следствие 4.3.
- ^ a b c Schaefer & Wolff 1999 , стр. 123–128.
- ^ де Йонг, Роберт М. (1993). "Стохастическая равностепенная непрерывность для процессов смешения". Асимптотическая теория методов расширения пространства параметров и зависимости данных в эконометрике . Амстердам. С. 53–72. ISBN 90-5170-227-2.
Рекомендации
- "Равностепенная непрерывность" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (исправленное и дополненное издание), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill.
- Шефер, Хельмут Х. (1966), Топологические векторные пространства , Нью-Йорк: Компания Macmillan
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .