Теорема Арцела-Асколи является фундаментальным результатом математического анализа , дающим необходимые и достаточные условия для того, чтобы решить, имеет ли каждая последовательность данного семейства непрерывных вещественных функций , определенных на замкнутом и ограниченном интервале , равномерно сходящуюся подпоследовательность . Главное условие — эквинепрерывность семейства функций. Теорема лежит в основе многих доказательств в математике, в том числе теоремы существования Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теоремы Монтеля. в комплексном анализе , а также теорема Питера-Вейля в гармоническом анализе и различные результаты, касающиеся компактности интегральных операторов.
Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками Чезаре Арцела и Джулио Асколи . Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884) , установившим достаточное условие компактности, и Арзела (1895) , установившим необходимое условие и впервые ясно изложившим результат. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) для множеств вещественных непрерывных функций с областью определения в компактном метрическом пространстве ( Данфорд и Шварц, 1958 , стр. 382). Современные формулировки теоремы позволяют сделать область компактной по Хаусдорфу .и чтобы диапазон был произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного хаусдорфова пространства в равномерное пространство было компактным в компактно-открытой топологии ; см. Kelley (1991 , стр. 234).
По определению последовательность { fn } n ∈ N непрерывных функций на отрезке I = [ a , b ] равномерно ограничена , если существует число M такое , что
для каждой функции fn , принадлежащей последовательности, и каждого x ∈ [ a , b ] . (Здесь M не должно зависеть от n и x .)
Последовательность называется равномерно равностепенно непрерывной , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
когда | х - у | < δ для всех функций f n в последовательности. (Здесь δ может зависеть от ε , но не от x , y или n .)