В математической области геометрической теории групп , A - схема Ван Кампена (иногда также называют диаграмму Линдона-Ван Кампена [1] [2] [3] ) представляет собой плоскостной диаграмма , используемая для представления о том , что конкретное слово в образующих из группа задается групповой презентации представляет собой единичный элемент в этой группе.
История
Понятие диаграммы Ван Кампена было введено Эгбертом ван Кампеном в 1933 году. [4] Эта статья появилась в том же выпуске American Journal of Mathematics, что и другая статья Ван Кампена, где он доказал то, что теперь известно как диаграмма Зейферта – Ван. Теорема Кампена . [5] Основной результат статьи о диаграммах Ван Кампена, теперь известный как лемма Ван Кампена, может быть выведен из теоремы Зейферта – Ван Кампена, применяя последнюю к комплексу представлений группы. [6] Однако Ван Кампен не заметил этого в то время, и этот факт стал явным только намного позже (см., Например, [7] ). Диаграммы Ван Кампена оставались малоиспользуемым инструментом в теории групп в течение примерно тридцати лет, до появления теории малого сокращения в 1960-х годах, где диаграммы Ван Кампена играли центральную роль. [8] В настоящее время диаграммы Ван Кампена являются стандартным инструментом в геометрической теории групп . Они используются, в частности, для изучения изопериметрических функций в группах и их различных обобщений, таких как изодиаметрические функции, функции длины заполнения и т. Д.
Формальное определение
Приведенные ниже определения и обозначения во многом следуют Линдону и Шуппу. [9]
Позволять
- (†)
- представление группы, в котором все r ∈ R - циклически редуцированные слова в свободной группе F ( A ). Алфавит A и множество определяющих соотношений R часто предполагаются конечными, что соответствует конечному представлению группы , но это предположение не является необходимым для общего определения диаграммы Ван Кампена. Пусть R * быть симметризо- замыкание в R , то есть, пусть R * получается из R путем сложения всех циклических перестановок элементов R и их инверсий.
Диаграмма Ван Кампена над представлением (†) представляет собой плоский конечноклеточный комплекс , заданный с конкретным вложением со следующими дополнительными данными и удовлетворяющими следующим дополнительным свойствам:
- Комплекс связано и просто связано .
- Каждое ребро (одноклеточное)помечена стрелкой и буквой ∈ A .
- Некоторая вершина (нулевая ячейка), принадлежащая топологической границеуказывается как базовая вершина .
- Для каждого региона (двухклеточного)для каждой вершины - граничный цикл этой области и для каждого из двух вариантов направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки) - метка граничного цикла области, считываемой из этой вершины, и в этом направлении является свободно сокращенным словом в F ( A ), принадлежащий R ∗ .
Таким образом, 1-скелет конечный связный плоский граф Γ, вложенный в и две клетки являются в точности дополнительными ограниченными областями этого графа.
По выбору R ∗ условие 4 эквивалентно требованию, чтобы для каждой областиесть некоторая граничная вершина этой области и некоторый выбор направление ( по часовой стрелке или против часовой стрелки) таким образом, что граница метки областей считываются из этой вершины , и в этом направлении свободно уменьшаются , и принадлежит R .
Диаграмма Ван Кампена также имеет граничный цикл , обозначенный, который является реберным путем в графе Γ, соответствующим обходуодин раз по часовой стрелке вдоль границы неограниченной дополнительной области графа Γ , начинающейся и заканчивающейся в базовой вершине. Метка этого граничного цикла является слово W в алфавите ∪ A -1 (которое не обязательно свободно уменьшается) , что называется граничной меткой из.
Дополнительная терминология
- Диаграмма Ван Кампена называется диаграммой диска, если является топологическим диском, то есть когда каждое ребро является граничным краем некоторой области и когда не имеет разрезов-вершин.
- Диаграмма Ван Кампена называется неприведенной, если существует редукционная пара в, то есть пара отдельных областей такие, что их граничные циклы имеют общее ребро и такие, что их граничные циклы, считываемые с этого края, по часовой стрелке для одной из областей и против часовой стрелки для другой, равны словам в A ∪ A −1 . Если такой пары регионов не существует,называется редуцированным .
- Количество регионов (двухячеек) называется область от обозначен .
В общем, диаграмма Ван Кампена имеет «кактусоподобную» структуру, в которой один или несколько компонентов диска соединены (возможно, вырожденными) дугами, см. Рисунок ниже:
Пример
На следующем рисунке показан пример диаграммы Ван Кампена для свободной абелевой группы ранга два.
Обозначение границы этой диаграммы - слово
Площадь этой диаграммы равна 8.
Лемма Ван Кампена
Ключевым основным результатом теории является так называемая лемма Ван Кампена [9], которая утверждает следующее:
- Позволять - диаграмма Ван Кампена над копредставлением (†) с граничной меткой w, которая является словом (не обязательно свободно сокращенным) в алфавите A ∪ A −1 . Тогда ш = 1 в G .
- Пусть ш быть свободно приведенное слово в алфавите ∪ A -1 такой , что ш = 1 в G . Тогда существует приведенная диаграмма Ван Кампенанад копредставлением (†), граничная метка которого свободно редуцируется и равна w .
Набросок доказательства
Сначала заметим , что для элемента ш ∈ F ( A ) имеем ш = 1 в G тогда и только тогда , когда ш принадлежит к нормальному замыканию из R в F ( A ) , то есть, тогда и только тогда , когда ш можно представить в виде
- (♠)
где n ≥ 0 и s i ∈ R ∗ для i = 1, ..., n .
Утверждение 1 леммы Ван Кампена доказывается индукцией по площади . Индуктивный шаг заключается в «отслаивании» одной из граничных областей получить диаграмму Ван Кампена с граничным циклом w и учитывая, что в F ( A ) имеем
где s ∈ R ∗ - граничный цикл области, которая была удалена для получения из .
Доказательство второй части леммы Ван Кампена более сложное. Во-первых, легко увидеть, что если w свободно редуцируется и w = 1 в G, существует некоторая диаграмма Ван Кампенас граничной меткой w 0 такой, что w = w 0 в F ( A ) (после возможного свободного уменьшения w 0 ). А именно рассмотрим представление w в виде (♠) выше. Тогда сделайбыть клином из n «леденцов» с «стеблями», помеченными u i, и с «Candys» (2-ячейками), помеченными s i . Тогда граничная метка- слово w 0 такое, что w = w 0 в F ( A ). Однако возможно, что слово w 0 не сокращается свободно. Затем начинают выполнять "складные" движения, чтобы получить последовательность диаграмм Ван Кампена.делая их граничные метки все более и более свободными и убеждаясь, что на каждом шаге граничная метка каждой диаграммы в последовательности равна w в F ( A ). Последовательность завершается за конечное число шагов диаграммой Ван Кампенаграничная метка которого свободно сокращается и, таким образом, равна слову w . Диаграммане может быть уменьшено. Если это произойдет, мы можем удалить редукционные пары из этой диаграммы с помощью простой хирургической операции, не затрагивая граничную метку. В итоге получается уменьшенная диаграмма Ван Кампена.граничный цикл которого свободно редуцируется и равен w .
Усиленная версия леммы Ван Кампена
Более того, приведенное выше доказательство показывает, что заключение леммы Ван Кампена можно усилить следующим образом. [9] Часть 1 можно усилить, сказав, что еслидиаграмма Ван Кампена области n с граничной меткой w, то существует представление (♠) для w как произведение в F ( A ) ровно n сопряженных элементов из R ∗ . Утверждение 2 можно усилить, чтобы сказать, что если w свободно редуцируется и допускает представление (♠) в виде произведения в F ( A ) n сопряженных элементов R ∗, то существует приведенная диаграмма Ван Кампена с граничной меткой w и площадь не более n .
Функции Дена и изопериметрические функции
Область слова, представляющего личность
Пусть ш ∈ F ( A ) таково , что ш = 1 в G . Тогда площадь из ж , будем обозначать площадь ( ш ), определяется как минимум площадей всех диаграмм Ван Кампена с граничными метками ш (лемма Ван Кампена говорит , что по крайней мере одна такая схема существует).
Можно показать, что площадь w может быть эквивалентно определена как наименьшее n ≥0 такое, что существует представление (♠), выражающее w как произведение в F ( A ) n конъюгатов определяющих соотносителей.
Изопериметрические функции и функции Дена
Неотрицательные неубывающая функция е ( п ) называются быть изопериметрической функцией для представления (†) , если для каждого свободно приведенного слова ш таких , что ш = 1 в G мы имеем
где | w | - длина слова w .
Предположим теперь, что алфавит A в (†) конечен. Тогда функция Дена от (†) определяется как
Легко видеть, что Dehn ( n ) - изопериметрическая функция для (†) и, более того, если f ( n ) - любая другая изопериметрическая функция для (†), то Dehn ( n ) ≤ f ( n ) для любого n ≥ 0.
Пусть ш ∈ F ( A ) можно свободно приведенное слово таким образом, что ш = 1 в G . Диаграмма Ван Кампенас граничной меткой w называется минимальным, еслиМинимальные диаграммы Ван Кампена являются дискретными аналогами минимальных поверхностей в римановой геометрии .
Обобщения и другие приложения
- Существует несколько обобщений диаграмм Ван-Кампена, где вместо того, чтобы быть плоскими, связными и односвязными (что означает, что они гомотопически эквивалентны диску), диаграмма нарисована или гомотопически эквивалентна некоторой другой поверхности. Оказывается, существует тесная связь между геометрией поверхности и некоторыми теоретико-групповыми представлениями. Особенно важным из них является понятие кольцевой Ван Kampen схеме , которая является гомотопически эквивалентно к кольцевому пространству . Кольцевые диаграммы, также известные как диаграммы сопряженности , могут использоваться для представления сопряженности в группах, заданных групповыми представлениями . [9] Также сферические диаграммы Ван Кампена связаны с несколькими версиями теоретико-групповой асферичности и с гипотезой об асферичности Уайтхеда , [10] Диаграммы Ван Кампена на торе связаны с коммутирующими элементами, диаграммы на реальной проективной плоскости связаны с инволюциями в группа и диаграммы на бутылке Клейна относятся к элементам, которые сопряжены с их собственным обратным.
- Диаграммы Ван Кампена являются центральными объектами теории малого сокращения, разработанной Гриндлингером, Линдоном и Шуппом в 1960-1970-х годах. [9] [11] Теория малых сокращений имеет дело с представлениями групп, в которых определяющие отношения имеют «небольшое перекрытие» друг с другом. Это условие отражается в геометрии сокращенных диаграмм Ван Кампена над небольшими презентациями с отменой, вызывая определенные виды поведения с неположительной или отрицательной кривизной. Такое поведение дает полезную информацию об алгебраических и алгоритмических свойствах малых групп сокращения, в частности, относительно слов и проблем сопряжения. Теория малых сокращений была одним из ключевых предшественников геометрической теории групп , которая возникла как отдельная математическая область в конце 1980-х годов и остается важной частью геометрической теории групп .
- Диаграммы Ван Кампена играют ключевую роль в теории словесно-гиперболических групп, введенной Громовым в 1987 году. [12] В частности, оказывается, что конечно представленная группа является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. Более того, существует изопериметрическая щель в возможном спектре изомпериметрических функций для конечно представленных групп: для любой конечно определенной группы либо она гиперболична и удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, либо функция Дена по крайней мере квадратична. [13] [14]
- Изучение изопериметрических функций для конечно представленных групп стало важной общей темой в геометрической теории групп, где достигнут существенный прогресс. Большая работа была направлена на построение групп с «дробными» функциями Дена (то есть с функциями Дена, являющимися полиномами нецелой степени). [15] Работа Рипса , Ольшанского, Биргета и Сапира [16] [17] исследовала связи между функциями Дена и функциями временной сложности машин Тьюринга и показала, что может быть реализована произвольная «разумная» функция времени (до соответствующая эквивалентность) как функцию Дена некоторой конечно определенной группы.
- Также были исследованы различные стратифицированные и релятивизированные версии диаграмм Ван Кампена. В частности, стратифицированная версия теории малых сокращений, разработанной Ольшанский, в результате различных конструкций теоретико-групповых «монстров», такие , как Тарское Монстре , [18] и в геометрических решениях проблемы Бернсайд для периодических групп большой показатель. [19] [20] Относительные версии диаграмм Ван Кампена (по отношению к набору подгрупп) были использованы Осином для разработки подхода изопериметрических функций к теории относительно гиперболических групп . [21]
Смотрите также
- Геометрическая теория групп
- Презентация группы
- Теорема Зейферта – Ван Кампена.
Основные ссылки
- Александр Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1
- Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика математики", перепечатка издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. V. Теория малого сокращения. С. 235–294.
Сноски
- ^ Б. Файн и Г. Розенбергер, Freiheitssatz и его расширения. Математическое наследие Вильгельма Магнуса: группы, геометрия и специальные функции (Бруклин, Нью-Йорк, 1992), 213–252, Contemp. Матем., 169, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1994 г.
- ^ И. Г. Лысенок, А. Г. Мясников, Полиномиальная оценка решений квадратных уравнений в свободных группах . Тр. Мат. Inst. Стеклова 274 (2011), Алгоритмические вопросы алгебры и логики, 148–190; перевод в Proc. Стеклова Математика. 274 (2011), нет. 1, 136–173
- ^ Б. Файн, А. Гаглионе, А. Мясников, Г. Розенбергер, Д. Спеллман, Элементарная теория групп. Руководство по доказательствам гипотез Тарского. Выставки Де Грюйтера по математике, 60. Де Грюйтер, Берлин, 2014. ISBN 978-3-11-034199-7
- ^ Э. ван Кампен. О некоторых леммах теории групп . Американский журнал математики . т. 55, (1933), стр. 268–273.
- ^ ER ван Кампен. О связи фундаментальных групп некоторых родственных пространств . Американский журнал математики, т. 55 (1933), стр. 261–267.
- ^ Приглашения к геометрии и топологии . Тексты для выпускников Оксфорда по математике. Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. 2003. ISBN. 9780198507727.
- ↑ Александр Юрьевич Ольшанский. Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1 .
- ^ Брюс Чендлер и Вильгельм Магнус . История комбинаторной теории групп. Пример из истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, 9. Springer-Verlag , New York, 1982. ISBN 0-387-90749-1 .
- ^ a b c d e Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика математики", перепечатка издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. V. Теория малого сокращения. С. 235–294.
- ^ Ян М. Chiswell, Дональд Дж Коллинз, и Йоханнес Huebschmann. Асферические групповые презентации. Mathematische Zeitschrift, т. 178 (1981), нет. 1. С. 1–36.
- ^ Мартин Гриндлингер. Алгоритм Дена для словесной проблемы. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
- ↑ М. Громов. Гиперболические группы . Очерки теории групп (Г. М. Герстен, ред.), ИИГС Publ. 8. 1987. С. 75–263; ISBN 0-387-96618-8 .
- ^ Мишель Coornaert, Томас Дельзант, Атанас Пападопулос, Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov . Конспект лекций по математике, т. 1441, Springer-Verlag , Берлин, 1990. ISBN 3-540-52977-2 .
- ^ BH Bowditch. Краткое доказательство того, что из субквадратичного изопериметрического неравенства следует линейное. Мичиганский математический журнал, вып. 42 (1995), нет. 1. С. 103–107.
- ^ MR Бридсон, Дробные изопериметрические неравенства и искажение подгрупп. Журнал Американского математического общества , вып. 12 (1999), нет. 4. С. 1103–1118.
- ^ М. Сапир, Ж.-К. Биргет, Э. Рипс, Изопериметрические и изодиаметрические функции групп. Анналы математики (2), т. 156 (2002), нет. 2. С. 345–466.
- ^ J.-C. Биргет, Александр Юрьевич Ольшанский, Э. Рипс, М. Сапир, Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность проблемы слов. Анналы математики (2), т. 156 (2002), нет. 2. С. 467–518.
- ^ Ольсанский, А.Ю. (1979).Бесконечные группы с циклическими подгруппами[Бесконечные группы с циклическими подгруппами]. Доклады Академии Наук СССР . 245 (4): 785–787.
- ^ А.Ю. Ольшанский. О геометрическом методе комбинаторной теории групп. Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Варшава, 1983), стр. 415–424, PWN, Варшава, 1984.
- ^ Иванов С.В. Свободные бернсайдовские группы достаточно больших показателей. Международный журнал алгебры и вычислений, вып. 4 (1994), нет. 1-2.
- ↑ Денис В. Осин. Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы. Мемуары Американского математического общества 179 (2006), вып. 843.
Внешние ссылки
- Диаграммы Ван Кампена из файлов Дэвида А. Джексона