В теории вероятностей , то обратное распределение Гаусса (также известное как распределение Wald ) является двухпараметрическим семейством непрерывных вероятностных распределений с поддержкой на (0, ∞).
Функция плотности вероятности | |||
Кумулятивная функция распределения | |||
Обозначение | |||
---|---|---|---|
Параметры | | ||
Служба поддержки | |||
CDF | где является стандартным нормальным (стандартным гауссовым) распределением CDF | ||
Иметь в виду | | ||
Режим | |||
Дисперсия | | ||
Асимметрия | |||
Бывший. эксцесс | |||
MGF | |||
CF |
Его функция плотности вероятности дается выражением
для x > 0, где это среднее и - параметр формы. [1]
Обратное гауссово распределение имеет несколько свойств, аналогичных гауссовскому распределению. Название может вводить в заблуждение: это «обратное» только в том смысле, что, в то время как гауссиан описывает уровень броуновского движения в фиксированное время, обратный гауссиан описывает распределение времени, которое требуется броуновскому движению с положительным дрейфом для достижения фиксированного положительного значения. уровень.
Его кумулянтная производящая функция (логарифм характеристической функции) является обратной к кумулянтной производящей функции гауссовой случайной величины.
Чтобы указать, что случайная величина X имеет обратное распределение по Гауссу со средним значением μ и параметром формы λ, мы пишем.
Характеристики
Форма с одним параметром
Функция плотности вероятности (pdf) обратного гауссова распределения имеет однопараметрическую форму, задаваемую формулой
В этой форме среднее и дисперсия распределения равны,
Кроме того, кумулятивная функция распределения (cdf) однопараметрического обратного гауссова распределения связана со стандартным нормальным распределением соотношением
где а также где это cdf стандартного нормального распределения. Переменные а также связаны друг с другом идентичностью
В форме с одним параметром MGF упрощается до
Обратное гауссово распределение в форме с двумя параметрами можно преобразовать в форму с одним параметром путем соответствующего масштабирования где
Стандартная форма обратного гауссова распределения:
Суммирование
Если X i имеетраспределения я = 1, 2, ..., п , и все X я являюсь независимыми , то
Обратите внимание, что
постоянно для всех i . Это необходимое условие для суммирования. В противном случае S не было бы обратным гауссовским распределением.
Масштабирование
Для любого t > 0 выполняется
Экспоненциальная семья
Обратное гауссово распределение является двухпараметрическим экспоненциальным семейством с естественными параметрами - λ / (2 μ 2 ) и - λ / 2, а также природные статистики X и 1 / Х .
Связь с броуновским движением
Пусть случайный процесс X t задается формулой
где W t - стандартное броуновское движение . То есть X t - броуновское движение со сносом.
Затем время первого прохождения для фиксированного уровняпо X t распределяется по обратному Гауссу:
т.е.
(см. уравнение Шредингера [2], уравнение 19, Смолуховский [3] , уравнение 8, и Фолкса [4] , уравнение 1).
Получение распределения времени первого прохождения |
---|
Предположим, что у нас есть броуновское движение с дрейфом определяется: И предположим, что мы хотим найти функцию плотности вероятности для времени, когда процесс впервые достигает некоторого барьера- известен как первый проход времени. Уравнение Фоккера-Планка, описывающее эволюцию распределения вероятностей является: где - дельта-функция Дирака . Это краевая задача (КЗЗ) с одним поглощающим граничным условием, которая может быть решена методом изображений . Основываясь на начальном условии, фундаментальное решение уравнения Фоккера-Планка, обозначенное как, является: Определите точку , так что . Это позволит исходному и зеркальному решениям компенсироваться точно на барьере в каждый момент времени. Это означает, что начальное условие должно быть увеличено, чтобы стать: где является константой. Из-за линейности BVP решение уравнения Фоккера-Планка с этим начальным условием имеет вид: Теперь мы должны определить значение . Полностью поглощающее граничное условие означает, что: В у нас есть это . Подставляя это обратно в приведенное выше уравнение, мы обнаруживаем, что: Таким образом, полное решение BVP: Теперь, когда у нас есть полная функция плотности вероятности, мы готовы найти распределение времени первого прохождения. . Самый простой способ - сначала вычислить функцию выживания. , который определяется как: где - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения . Функция выживания дает нам вероятность того, что процесс броуновского движения не пересек барьер в какой-то момент . Наконец, распределение времени первого прохождения получается из тождества: При условии, что , время первого прохождения следует обратному гауссовскому распределению: |
Когда дрейф равен нулю
Обычный частный случай вышеизложенного возникает, когда броуновское движение не имеет дрейфа. В этом случае параметр μ стремится к бесконечности, а время первого перехода для фиксированного уровня α имеет функцию плотности вероятности
(см. также Башелье [5] : 74 [6] : 39 ). Это распределение Леви с параметрами а также .
Максимальная вероятность
Модель, где
со всеми известными w i, неизвестными ( μ , λ ) и независимыми X i имеет следующую функцию правдоподобия
Решение уравнения правдоподобия дает следующие оценки максимального правдоподобия
а также независимы и
Выборка из обратного гауссова распределения
Можно использовать следующий алгоритм. [7]
Сгенерируйте случайную переменную из нормального распределения со средним значением 0 и стандартным отклонением, равным 1
Возвести значение в квадрат
и воспользуемся соотношением
Сгенерируйте еще одну случайную переменную, на этот раз выбранную из равномерного распределения от 0 до 1.
Если затем вернись иначе вернуться
Пример кода на Java :
общедоступный двойной inverseGaussian ( двойной mu , двойной лямбда ) { Random rand = new Random (); двойной v = рандом . nextGaussian (); // Выборка из нормального распределения со средним значением 0 и 1 стандартным отклонением double y = v * v ; двойной x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * му * лямбда * у + му * му * у * у ); двойной тест = рандом . nextDouble (); // Выборка из равномерного распределения от 0 до 1 if ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; иначе return ( mu * mu ) / x ; }
И чтобы построить распределение Вальда на Python с использованием matplotlib и NumPy :
импортировать matplotlib.pyplot как plt импортировать numpy как nph = plt . hist ( np . random . wald ( 3 , 2 , 100000 ), ячейки = 200 , плотность = True )plt . показать ()
Связанные дистрибутивы
Свертка обратного гауссовского распределения (распределение Вальда) и экспоненты (распределение бывшего Вальда) используется в качестве модели времени отклика в психологии [9] с визуальным поиском в качестве одного примера. [10]
История
Это распределение, по-видимому, было впервые получено в 1900 году Луи Башелье [5] [6], когда акция впервые достигла определенной цены. В 1915 году он независимо использовался Эрвином Шредингером [2] и Марианом фон Смолуховски [3] как время первого прохождения броуновского движения. В области моделирования воспроизведения она известна как функция Хадвигера в честь Хьюго Хадвигера , описавшего ее в 1940 году. [11] Абрахам Вальд повторно вывел это распределение в 1944 году [12] как предельную форму выборки в последовательном соотношении вероятностей. контрольная работа. Название «обратный гауссовский» было предложено Морисом Твиди в 1945 году. [13] Твиди исследовал это распределение в 1956 [14] и 1957 [15] [16] и установил некоторые его статистические свойства. Распределение было подробно рассмотрено Фолксом и Чикарой в 1978 г. [4]
Числовые вычисления и программное обеспечение
Несмотря на простую формулу для функции плотности вероятности, численные вычисления вероятности для обратного распределения Гаусса, тем не менее, требуют особой осторожности для достижения полной машинной точности в арифметике с плавающей запятой для всех значений параметров. [17] Функции для обратного гауссовского распределения предоставляются для языка программирования R несколькими пакетами, включая rmutil, [18] [19] SuppDists, [20] STAR, [21] invGauss, [22] LaplacesDemon, [23] и statmod. . [24]
Смотрите также
- Обобщенное обратное гауссово распределение
- Распределения Твиди - обратное распределение Гаусса является членом семейства моделей экспоненциальной дисперсии Твиди.
- Время остановки
Рекомендации
- ^ a b Chhikara, Raj S .; Народ, Дж. Лерой (1989), Обратное гауссовское распределение: теория, методология и приложения , Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Marcel Dekker, Inc, ISBN 0-8247-7997-5
- ^ а б Шредингер, Эрвин (1915), «Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung» [К теории экспериментов по падению и подъему частиц с броуновским движением], Physikalische Zeitschrift (на немецком языке), 16 (16): 289–295
- ^ а б Смолуховского, Мариан (1915), "Notiz über умереть Berechnung дер Brownschen Molekularbewegung бей дер Ehrenhaft-Millikanschen Versuchsanordnung" [Примечание по расчету броуновского молекулярного движения в Ehrenhaft-Милликена Экспериментальная установка], Physikalische Zeitschrift (на немецком языке ), 16 (17/18): 318–321
- ^ а б Народ, Дж. Лерой; Chhikara, Raj S. (1978), "Обратное гауссово распределение и ее статистическое приложение-обзор", журнал Королевского статистического общества , Series B (методологическая), 40 (3): 263-275, DOI : 10.1111 / J .2517-6161.1978.tb01039.x , JSTOR 2984691
- ^ а б Башелье, Луи (1900), « Теория спекуляции » [Теория спекуляции] (PDF) , Ann. Sci. Éc. Норма. Супер. (по - французски), Серия 3, 17: 21-89, DOI : 10,24033 / asens.476
- ^ а б Башелье, Луи (1900), "Теория спекуляции" , Ann. Sci. Éc. Норма. Супер. , Серия 3, 17: 21-89 (Engl . Перевод David R. мая 2011 г.), DOI : 10,24033 / asens.476
- ^ Майкл, Джон Р .; Schucany, William R .; Haas, Рой W. (1976), "Генерация случайных случайных величин Использование Трансформации с несколькими корнями", Американский Statistician , 30 (2): 88-90, DOI : 10,1080 / 00031305.1976.10479147 , JSTOR 2683801
- ^ Шустер, Дж. (1968). «Об обратной функции распределения Гаусса». Журнал Американской статистической ассоциации . 63 (4): 1514–1516. DOI : 10.1080 / 01621459.1968.10480942 .
- ^ Шварц, Вольфганг (2001), "Распределение экс-Wald в качестве описательной модели времени отклика", поведение методов исследования, инструменты, и компьютеры , 33 (4): 457-469, DOI : 10,3758 / bf03195403 , PMID 11816448
- ^ Палмер, Э.М.; Горовиц, Т.С.; Torralba, A .; Вулф, JM (2011). "Каковы формы распределения времени отклика при визуальном поиске?" . Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и производительность . 37 (1): 58–71. DOI : 10.1037 / a0020747 . PMC 3062635 . PMID 21090905 .
- ^ Хадвигер, Х. (1940). "Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten". Skandinavisk Aktuarietidskrijt . 7 (3–4): 101–113. DOI : 10.1080 / 03461238.1940.10404802 .
- ^ Wald, Abraham (1944), "О кумулятивных сумм случайных величин", Анналы математической статистики , 15 (3): 283-296, DOI : 10,1214 / АОМ / 1177731235 , JSTOR 2236250
- ^ Твиди, MCK (1945). «Обратные статистические переменные» . Природа . 155 (3937): 453. Bibcode : 1945Natur.155..453T . DOI : 10.1038 / 155453a0 . S2CID 4113244 .
- ^ Твиди, MCK (1956). «Некоторые статистические свойства обратных гауссовских распределений». Вирджинский научный журнал . Новая серия. 7 (3): 160–165.
- ^ Твиди, MCK (1957). «Статистические свойства обратных гауссовских распределений I» . Анналы математической статистики . 28 (2): 362–377. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177706964 . JSTOR 2237158 .
- ^ Твиди, MCK (1957). «Статистические свойства обратных гауссовских распределений II». Анналы математической статистики . 28 (3): 696–705. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177706881 . JSTOR 2237229 .
- ^ Гинер, Гёкнур; Смит, Гордон (август 2016 г.). "statmod: Расчеты вероятности обратного гауссовского распределения" . R Journal . 8 (1): 339–351. arXiv : 1603.06687 . DOI : 10.32614 / RJ-2016-024 .
- ^ Линдси, Джеймс (09.09.2013). "rmutil: Утилиты для моделей нелинейной регрессии и повторных измерений" .
- ^ Свихарт, Брюс; Линдси, Джеймс (2019-03-04). "rmutil: Утилиты для моделей нелинейной регрессии и повторных измерений" .
- ^ Уиллер, Роберт (2016-09-23). «SuppDists: Дополнительные распределения» .
- ^ Пуза, Кристоф (19 февраля 2015). «ЗВЕЗДА: Анализ шипованных поездов с помощью R» .
- ^ Гьессинг, Хакон К. (29 марта 2014 г.). «Пороговая регрессия, которая соответствует (рандомизированному дрейфу) обратному распределению Гаусса к данным выживания» .
- ^ Холл, Байрон; Холл, Мартина; Статистик, ООО; Браун, Эрик; Хермансон, Ричард; Шарпантье, Эммануэль; Черт возьми, Дэниел; Лоран, Стефан; Gronau, Quentin F .; Сингманн, Хенрик (29 марта 2014 г.). «Демон Лапласа: полная среда для байесовского вывода» .
- ^ Гинер, Гёкнур; Смит, Гордон (18.06.2017). «statmod: Статистическое моделирование» .
дальнейшее чтение
- Хёйланд, Арнльот ; Раусанд, Марвин (1994). Теория надежности системы . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-59397-3.
- Сешадри, В. (1993). Обратное гауссово распределение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-852243-0.
Внешние ссылки
- Обратное распределение Гаусса на сайте Wolfram.