В теории чисел , премьер Уолл-ВС-ВС или Фибоначчи-простое число виферих определенного вид простого числа , который предположил существование, хотя никто не известен.
Названный в честь | Дональд Дайнс Уолл , Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун |
---|---|
Год публикации | 1992 г. |
Количество известных терминов | 0 |
Предполагаемый нет. условий | Бесконечный |
Определение
Позволять быть простым числом. Когда каждый член в последовательности чисел Фибоначчи сводится по модулю , результатом будет периодическая последовательность . (Минимальная) длина периода этой последовательности называется периодом Пизано и обозначается. С, то p делит . Простое число p такое, что p 2 делитназывается простым числом Стены – Солнца – Солнца .
Эквивалентные определения
Если обозначает ранг появления по модулю (т.е. наименьший положительный индекс такой, что разделяет ), то простое число Уолла – Солнца – Солнца эквивалентно определяется как простое число такой, что разделяет .
Для простого p ≠ 2, 5 ранг появления известно делить , где символ Лежандра имеет ценности
Это наблюдение приводит к эквивалентной характеристике простых чисел Уолла – Солнца – Солнца как простых чисел. такой, что делит число Фибоначчи . [1]
Премьер является простым числом Стены – Солнца – Солнца тогда и только тогда, когда .
Премьер является простым числом Стены – Солнца – Солнца тогда и только тогда, когда , где это -е число Лукаса . [2] : 42
Макинтош и Рёттгер устанавливают несколько эквивалентных характеризаций простых чисел Лукаса – Вифериха . [3] В частности, пусть; то следующие эквиваленты:
Существование
Существуют ли простые числа Стена – Солнце – Солнце? Если да, то их бесконечное количество?
В исследовании периода Пизано , Дональд Дайнс Уолл определил, что нет простых чисел Стена – Солнце – Солнце меньше, чем. В 1960 году он писал: [4]
Самая сложная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы . Мы провели тест на цифровом компьютере, который показывает, что для всех вплоть до ; однако мы не можем доказать, чтоневозможно. Вопрос тесно связан с другим, "может ли число иметь такой же мод порядка и мод ? », на которые в редких случаях дают утвердительный ответ (например, ; ); следовательно, можно предположить, что равенство может выполняться для некоторых исключительных.
С тех пор было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Стена – Солнце – Солнце. [5] По состоянию на декабрь 2020 года простые числа Стена – Солнце – Солнце не известны.[Обновить].
В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Рёттгер показали, что если они существуют, то они должны быть> 2 × 10 14 . [3] Дорайс и Клив расширили этот диапазон до 9,7 × 10 14, не найдя такого простого числа. [6]
В декабре 2011 года проект PrimeGrid начал еще один поиск [7], однако он был приостановлен в мае 2017 года. [8] В ноябре 2020 года PrimeGrid запустила еще один проект, в котором одновременно выполнялся поиск простых чисел Вифериха и Уолла – Солнца – Солнца. [9] По состоянию на декабрь 2020 г.[Обновить], его передняя кромка закончилась . [10]
История
Простые числа Стена – Солнце – Солнце названы в честь Дональда Дайнса Уолла , [4] [11] Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сун ; ZH Sun и ZW Sun показали в 1992 году, что если первый случай последней теоремы Ферма был неверен для некоторого простого числа p , то p должно было быть простым числом Стены – Солнца – Солнца. [12] В результате до доказательства Эндрю Уайлса последней теоремы Ферма поиск простых чисел Стена – Солнце – Солнце был также поиском потенциального контрпримера к этой многовековой гипотезе .
Обобщения
Tribonacci-простое число вифериха является простым р , удовлетворяющее ч ( р ) = ч ( р 2 ) , где ч наименьшее положительное целое число , удовлетворяющее [ Т ч , Т ч + 1 , Т ч +2 ] ≡ [ Т 0 , Т 1 , Т 2 ] ( по модулю т ) и Т п обозначает п -е число tribonacci . Простое число трибоначчи – Вифериха меньше 10 11 не существует . [13]
Пэлл-простое число вифериха является простым р , удовлетворяющих P 2 делит Р р -1 , когда р конгруэнтны 1 или 7 ( по модулю 8), или р 2 делит Р р + 1 , когда р конгруэнтны 3 или 5 ( по модулю 8) , где Р п обозначает п -го числа Pell . Например, 13, 31 и 1546463 являются простыми числами Пелла – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10 9 (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически, простые числа Пелля – Вифериха являются простыми числами 2-Стены – Солнца – Солнца.
Простые числа у стены – Солнца – Солнца
Простое число p такое, чтос маленьким | А | называется простым числом у Стены – Солнца – Солнца . [3] Простые числа Стена – Солнце – Солнце с A = 0 будут простыми числами Стена – Солнце – Солнце.
Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D
Простые числа Стена – Солнце – Солнце можно рассматривать для поля с дискриминантной D . Для обычных простых чисел Уолла – Солнца – Солнца D = 5. В общем случае простое число Люка – Вифериха p, ассоциированное с ( P , Q ), является простым числом Вифериха с основанием Q и простым числом Уолла – Сан – Сан с дискриминантом D = Р 2 - 4 Q . [1] В этом определении, то простой р должен быть нечетным , а не разделить D .
Он высказал предположение , что для любого натурального числа D , существует бесконечное множество Уолл-вс-вс простых чисел с дискриминантной D .
Случай соответствует простым числам k -Стена-Солнце-Солнце , для которых простые числа Уолл-Солнце-Солнце представляют собой частный случай k = 1. Простые числа k -Стена-Солнце-Солнце могут быть явно определены как простые числа p, такие, что p 2 делит число k -Число Фибоначчи, где F k ( n ) = U n ( k , −1) - последовательность Люка первого рода с дискриминантом D = k 2 + 4 и- период Пизано k- чисел Фибоначчи по модулю p . [14] Для простого p ≠ 2, не делящего D , это условие эквивалентно любому из следующих.
- p 2 делит, где - символ Кронекера ;
- V p ( k , −1) ≡ k (mod p 2 ), где V n ( k , −1) - последовательность Люка второго рода.
Наименьшие простые числа k- Стены – Солнца – Солнца для k = 2, 3, ...
- 13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (последовательность A271782 в OEIS )
k | часть D без квадратов ( OEIS : A013946 ) | простые числа k -Стена – Солнце – Солнце | заметки |
---|---|---|---|
1 | 5 | ... | Никто не известен. |
2 | 2 | 13, 31, 1546463, ... | |
3 | 13 | 241, ... | |
4 | 5 | 2, 3, ... | Поскольку это второе значение k, для которого D = 5, простые числа k -Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 2−1, которые не делят 5. Поскольку k делится на 4, 2 - это k -Стена – Солнце – Солнце премьер. |
5 | 29 | 3, 11, ... | |
6 | 10 | 191, 643, 134339, 25233137, ... | |
7 | 53 | 5, ... | |
8 | 17 | 2, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
9 | 85 | 3, 204520559, ... | |
10 | 26 год | 2683, 3967, 18587, ... | |
11 | 5 | ... | Поскольку это третье значение k, для которого D = 5, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 3–1, которые не делят 5. |
12 | 37 | 2, 7, 89, 257, 631, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
13 | 173 | 3, 227, 392893, ... | |
14 | 2 | 3, 13, 31, 1546463, ... | Поскольку это второе значение k, для которого D = 2, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 2–1, которые не делят 2. |
15 | 229 | 29, 4253, ... | |
16 | 65 | 2, 1327, 8831, 569831, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
17 | 293 | 1192625911, ... | |
18 | 82 | 3, 5, 11, 769, 256531, 624451181, ... | |
19 | 365 | 11, 233, 165083, ... | |
20 | 101 | 2, 7, 19301, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
21 год | 445 | 23, 31, 193, ... | |
22 | 122 | 3, 281, ... | |
23 | 533 | 3, 103, ... | |
24 | 145 | 2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
25 | 629 | 5, 7, 2687, ... | |
26 год | 170 | 79, ... | |
27 | 733 | 3, 1663, ... | |
28 год | 197 | 2, 1431615389, ... | Поскольку k делится на 4, 2 - простое число k- Стены – Солнца – Солнца. |
29 | 5 | 7, ... | Поскольку это четвертое значение k, для которого D = 5, простые числа k -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 4-1, которые не делят 5. |
30 | 226 | 23, 1277, ... |
D | Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D (проверено до 10 9 ) | Последовательность OEIS |
---|---|---|
1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа) | A065091 |
2 | 13, 31, 1546463, ... | A238736 |
3 | 103, 2297860813, ... | A238490 |
4 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа) | |
5 | ... | |
6 | (3), 7, 523, ... | |
7 | ... | |
8 | 13, 31, 1546463, ... | |
9 | (3), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа) | |
10 | 191, 643, 134339, 25233137, ... | |
11 | ... | |
12 | 103, 2297860813, ... | |
13 | 241, ... | |
14 | 6707879, 93140353, ... | |
15 | (3), 181, 1039, 2917, 2401457, ... | |
16 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа) | |
17 | ... | |
18 | 13, 31, 1546463, ... | |
19 | 79, 1271731, 13599893, 31352389, ... | |
20 | ... | |
21 год | 46179311, ... | |
22 | 43, 73, 409, 28477, ... | |
23 | 7, 733, ... | |
24 | 7, 523, ... | |
25 | 3, (5), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа) | |
26 год | 2683, 3967, 18587, ... | |
27 | 103, 2297860813, ... | |
28 год | ... | |
29 | 3, 11, ... | |
30 | ... |
Смотрите также
- Виферих прайм
- Wolstenholme Prime
- Уилсон прайм
- PrimeGrid
- Простое число Фибоначчи
- Период Пизано
- Таблица сравнений
Рекомендации
- ^ а б А.-С. Эльзенханс, Дж. Янель (2010). «Последовательность Фибоначчи по модулю p 2 - компьютерное исследование для p <10 14 ». arXiv : 1006.0824 [ math.NT ].
- ^ Андреич, В. (2006). «О степенях Фибоначчи» (PDF) . Univ. Beograd Publ. Электротехн. Фак. Сер. Мат . 17 (17): 38–44. DOI : 10.2298 / PETF0617038A .
- ^ а б в Макинтош, Р.Дж.; Roettger, EL (2007). «Поиск простых чисел Фибоначчи-Вифериха и Вольстенхольма» (PDF) . Математика вычислений . 76 (260): 2087–2094. Bibcode : 2007MaCom..76.2087M . DOI : 10.1090 / S0025-5718-07-01955-2 .
- ^ а б Стена, DD (1960), "Фибоначчи серии Modulo м", American Mathematical Monthly , 67 (6): 525-532, DOI : 10,2307 / 2309169 , JSTOR 2309169
- ^ Клашка, Иржи (2007), "Краткое замечание о простых числах Фибоначчи-Вифериха" , Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis , 15 (1): 21–25.
- ^ Dorais, FG; Кливе, DW (2010). «Рядом с простыми числами Вифериха до 6,7 × 10 15 » (PDF) . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Проект Wall – Sun – Sun Prime Search в PrimeGrid
- ^ [1] в PrimeGrid
- ^ Доски объявлений: Wieferich и Wall-Sun-Sun Prime Search в PrimeGrid
- ^ Статус подпроекта в PrimeGrid
- ^ Crandall, R .; Дилчер, к .; Померанс, К. (1997). «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона». 66 : 447. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Сунь, Чжи-Хун; Солнце, Zhi-Вэй (1992), "Числа Фибоначчи и Великая теорема Ферма" (PDF) , Acta Арифметика , 60 (4): 371-388, DOI : 10,4064 / аа-60-4-371-388
- ^ Клашка, Иржи (2008). «Поиск простых чисел Трибоначчи – Вифериха» . Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis . 16 (1): 15–20.
- ^ С. Фалькон, А. Плаза (2009). « k -последовательность Фибоначчи по модулю m ». Хаос, солитоны и фракталы . 41 (1): 497–504. Bibcode : 2009CSF .... 41..497F . DOI : 10.1016 / j.chaos.2008.02.014 .
дальнейшее чтение
- Crandall, Ричард Э .; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer. п. 29 . ISBN 0-387-94777-9.
- Саха, Арпан; Картик, CS (2011). "Несколько эквивалентностей гипотезы Уолла – Солнца – Солнца о простом". arXiv : 1102,1636 [ math.NT ].
Внешние ссылки
- Крис Колдуэлл, Главный Глоссарий: Стена – Солнце – Солнце премьер на Prime Pages .
- Вайсштейн, Эрик У. «Стена – Солнце – Солнце» . MathWorld .
- Ричард Макинтош, Статус поиска простых чисел Стена – Солнце – Солнце (октябрь 2003 г.)
- Последовательность OEIS A000129 (простые числа p, которые делят свои частные Пелла, где частное Пелля для p равно A000129 (p - (2 / p)) / p и (2 / p) является символом Якоби)