Смешивание (математика)

Повторное применение карты пекаря к точкам, окрашенным в красный и синий цвета, изначально разделенным. Карта пекаря смешивается, что показано красными и синими точками, полностью перемешанными после нескольких итераций.

В математике смешивание — это абстрактное понятие, происходящее из физики : попытка описать необратимый термодинамический процесс смешивания в повседневном мире: смешивание красок, смешивание напитков, промышленное смешивание и т . д .

Понятие появляется в эргодической теории — изучении случайных процессов и сохраняющих меру динамических систем . Существует несколько различных определений смешивания, включая сильное смешивание , слабое смешивание и топологическое смешивание , причем последнее не требует определения меры . Некоторые из различных определений смешения можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание. Кроме того, слабое перемешивание (и, следовательно, также сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая слабо перемешивающая система также эргодична (поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» понятием, чем эргодичность).

Неформальное объяснение

Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы охватить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание промышленных процессов , дым в задымленном помещении и так далее. Для обеспечения математической строгости такие описания начинаются с определения сохраняющей меру динамической системы , записываемой в виде .${\ Displaystyle (Х, {\ mathcal {А}}, \ му, Т)}$

Под множеством понимается все заполняемое пространство: смесительная чаша, задымленная комната и т . д . Под мерой понимается естественный объем пространства и его подпространств. Набор подпространств обозначается , а размер любого данного подмножества равен ; размер - это его объем. Наивно можно было бы вообразить , что это набор степеней ; это не совсем работает, так как не все подмножества пространства имеют объем (знаменитый парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается борелевским множеством${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle \ му}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle {\ mathcal {А}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \mu (A)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$— совокупность подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми.

Эволюция системы во времени описывается картой . Учитывая некоторое подмножество , его карта в общем случае будет деформированной версией — она сжата или растянута, свернута или разрезана на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , обе вдохновленные выпечкой хлеба . Набор должен иметь тот же объем, что и ; сжатие/растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle T(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(A)}$${\displaystyle A}$

Формальная трудность возникает при попытке согласовать объем множеств с необходимостью сохранения их размера при отображении. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, одна точка не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой ; он сопоставит любое заданное подмножество с частями, которые были собраны для его создания: эти части . Он обладает важным свойством не «терять след» того, откуда что-то взялось. Более того, оно обладает тем важным свойством, что любая (сохраняющая меру) карта является инверсией некоторой карты.${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle T(x)=T(y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X\to X}$. Надлежащее определение карты, сохраняющей объем, — это определение, для которого, поскольку описывает все куски-части, из которых произошли.${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$${\displaystyle T^{-1}(A)}$${\displaystyle A}$

Сейчас интересно изучить эволюцию системы во времени. Если множество в конце концов посещает все в течение длительного периода времени (то есть, если приближается ко всем для больших ), система называется эргодической . Если каждое множество ведет себя таким образом, система является консервативной системой , противопоставленной диссипативной системе , в которой некоторые подмножества блуждают , и к ним никогда нельзя вернуться. Примером может служить вода, текущая вниз по склону — однажды сбежав, она уже никогда не вернется обратно. Однако озеро, образующееся на дне этой реки, может стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ утверждает, что всякую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную и диссипативную.

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя множествами , а не только между некоторым множеством и . То есть для любых двух наборов система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число такое, что для всех и одно имеет это . Здесь обозначает пересечение множества и является пустым множеством .${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \varnothing }$

Приведенного выше определения топологического смешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о смешивании (оно эквивалентно формальному определению, данному ниже). Однако в нем не упоминается объем и , и, действительно, есть другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; у одного есть как сильное перемешивание, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя сильно перемешивающая система всегда слабо перемешивающая. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: есть системы, которые являются одним, но не другим. Общая ситуация остается мутной: например, учитывая три набора${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$, можно определить 3-перемешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивание. (Если рассматривать эргодичность как «1-перемешивание», то ясно, что из 1-перемешивания не следует 2-перемешивание; существуют системы, которые эргодичны, но не перемешиваются.)

Понятие сильного смешивания сделано по отношению к объему пары наборов. Рассмотрим, например, набор цветных красителей, которые смешивают с какой-нибудь липкой жидкостью, скажем, кукурузным сиропом, шампунем или чем-то подобным. Практический опыт показывает, что смешивание липких жидкостей может быть довольно трудным: обычно есть какой-то угол емкости, куда трудно замешать краску. Выберите как набор этот труднодоступный уголок. Таким образом, вопрос о смешении состоит в том, может ли по прошествии достаточно длительного времени не только проникнуть внутрь, но и заполниться в той же пропорции, что и в других местах?${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Один формулирует определение сильного перемешивания как требование, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Параметр времени служит для разделения и во времени, так что смешивание происходит при фиксированном объеме теста . Продукт немного тоньше. Представьте, что объем составляет 10% от общего объема, и что объем красителя также будет составлять 10% от общего объема. Если распределено равномерно, то оно занимает 10 % от , что само по себе составляет 10 % от общего объема, и, таким образом, в конце концов, после смешивания, его часть составляет 1 % от общего объема. То есть это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса в вероятностях; это не случайность, а скорее следствие того, что теория меры и${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$Теория вероятностей — это одна и та же теория: они разделяют одни и те же аксиомы (аксиомы Колмогорова ), хотя и используют разные обозначения.

Причина использования вместо в определении немного тонкая, но она следует из тех же причин, по которым была использована для определения концепции карты, сохраняющей меру. Глядя на то, сколько краски попало в угол , хочется посмотреть, откуда эта краска «взялась» (предположительно, когда-то в прошлом ее налили сверху). Нужно быть уверенным, что каждое место, откуда он мог «прийти», в конечном итоге смешается с .${\displaystyle T^{-n}A}$${\displaystyle T^{n}A}$${\displaystyle T^{-1}A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Смешивание в динамических системах

Позвольте быть сохраняющей меру динамической системой с T , являющимся оператором эволюции во времени или сдвига . Система называется сильно перемешивающей , если для любого${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение с заменой на g , являющимся параметром непрерывного времени.${\displaystyle T^{-n}}$${\displaystyle T_{g}}$

Динамическая система называется слабым перемешиванием , если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

Другими словами, является сильным перемешиванием, если в обычном смысле, слабым перемешиванием, если${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

в смысле Чезаро и эргодическим, если в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание влечет за собой слабое перемешивание, а значит, эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, не являющиеся слабо перемешивающими, и слабо перемешивающие динамические системы, не сильно перемешивающие. Система Chacon исторически была первым приведенным примером системы со слабым, но не с сильным смешиванием. ^[1]${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$

${\displaystyle L^{2}}$ формулировка

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним значением наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы эквивалентна тому свойству, что для любой функции последовательность сходится сильно и в смысле Чезаро к , т.е.${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Динамическая система слабо перемешивающая, если для любых функций и${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot gd\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Динамическая система называется сильно перемешивающей, если для любой функции последовательность слабо сходится к , т. е. для любой функции${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu ,}$${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация такова , что случайные величины и становятся ортогональными по мере роста. На самом деле, поскольку это работает для любой функции , можно неофициально рассматривать смешивание как свойство, при котором случайные величины становятся независимыми по мере роста .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$${\displaystyle f\circ T^{n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle f\circ T^{n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$

Произведения динамических систем

Имея две измеряемые динамические системы и можно построить динамическую систему на декартовом произведении, определив Мы тогда имеем следующие характеристики слабого перемешивания:${\displaystyle (X,\mu ,T)}$${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы система также является эргодической.${\displaystyle (X,\mu ,T)}$${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$

Предложение. Динамическая система слабо перемешивающая тогда и только тогда , когда она также эргодична. Если это так, то это тоже слабое перемешивание.${\displaystyle (X,\mu ,T)}$${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$

Обобщения

Определение, данное выше, иногда называют сильным 2-перемешиванием , чтобы отличить его от перемешивания более высоких порядков. Сильная 3-перемешивающая система может быть определена как система, для которой

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

выполняется для всех измеримых множеств A , B , C . Аналогично можно определить сильное k-перемешивание . Система, являющаяся сильным k - перемешиванием для всех k  = 2,3,4,..., называется перемешиванием всех порядков .

Неизвестно, подразумевает ли сильное 2-перемешивание сильное 3-перемешивание. Известно, что сильное m -перемешивание влечет эргодичность .

Примеры

Иррациональные повороты окружности и, в более общем случае, неприводимые переносы на торе эргодичны, но ни сильно, ни слабо перемешивают по мере Лебега.

Многие отображения, рассматриваемые как хаотические, сильно перемешивают для некоторой хорошо выбранной инвариантной меры, в том числе: диадическое отображение , отображение кошки Арнольда , подковообразные отображения , колмогоровские автоморфизмы и поток Аносова ( геодезический поток на единичном касательном расслоении компактных многообразий отрицательных кривизна .)

Топологическое смешение

Форма смешения может быть определена без обращения к мере , используя только топологию системы. Непрерывное отображение называется топологически транзитивным , если для каждой пары непустых открытых множеств существует такое целое число n , что${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

где n - я итерация f . В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение на топологическом векторном пространстве ) обычно называют гиперциклическим оператором . Родственная идея выражается блуждающим множеством .${\displaystyle f^{n}}$

Лемма: Если X — полное метрическое пространство без изолированной точки , то f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда существует гиперциклическая точка , то есть точка x такая , что ее орбита плотна в X.${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$

Система называется топологически перемешивающей , если для данных открытых множеств и существует целое число N такое, что для всех${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Для системы с непрерывным временем заменяется потоком , где g - непрерывный параметр, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех .${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$

Слабое топологическое перемешивание — это перемешивание , не имеющее непостоянных непрерывных (относительно топологии) собственных функций оператора сдвига.

Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает слабого или сильного перемешивания: есть примеры систем, которые являются слабым перемешиванием, но не топологически перемешиваются, и примеры, которые топологически перемешиваются, но не сильно перемешиваются.

Перемешивание в стохастических процессах

Позвольте быть случайным процессом на вероятностном пространстве . Пространство последовательности, в которое отображается процесс, может быть наделено топологией, топологией продукта . Открытые множества этой топологии называются множествами цилиндров . Эти наборы цилиндров порождают σ-алгебру , борелевскую σ-алгебру ; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию.${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

Задайте функцию , называемую коэффициентом сильного смешивания , как${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

для всех . Символ , с обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор наборов цилиндров, которые указаны между моментами времени a и b , т. е. σ-алгебра, порожденная .${\displaystyle -\infty <s<\infty }$${\displaystyle X_{a}^{b}}$${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$

Процесс называется сильно перемешивающим , если при . Иными словами, процесс сильного перемешивания таков, что таким образом, который является однородным для всех времен и всех событий, события до времени и события после времени имеют тенденцию быть независимыми как ; говоря более просто, процесс в сильном смысле забывает свою историю.${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$${\displaystyle s\to \infty }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+s}$${\displaystyle s\to \infty }$

Перемешивание в марковских процессах

Предположим , что есть стационарный марковский процесс со стационарным распределением, и пусть обозначает пространство измеримых по Борелю функций, суммируемых с квадратом по мере . Также пусть${\displaystyle (X_{t})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

обозначают оператор условного ожидания на Наконец, пусть${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

обозначают пространство функций, интегрируемых с квадратом, со средним нулем.

Коэффициенты ρ -смешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

Процесс называется ρ -смешением , если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , и « ρ - смешением с экспоненциальной скоростью затухания», если ρt _< e ⁻ δt для некоторого δ > ⁰ . Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ _t могут либо убывать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице. ^[2]

Коэффициенты α -смешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

Процесс называется α - смешением , если эти коэффициенты стремятся к нулю при t → ∞ , «α-смешением с экспоненциальной скоростью затухания», если α _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и α-смешением с субэкспоненциальная скорость затухания, если α _t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как . ^[2]${\displaystyle t\to \infty }$

Коэффициенты α - перемешивания всегда меньше, чем коэффициенты ρ - _{перемешивания} : αt ≤ _ρt , поэтому если процесс является ρ - перемешиванием , то он обязательно будет и α -перемешиванием. Однако, когда ρ _t = 1 , процесс все еще может быть α -перемешиванием с субэкспоненциальной скоростью затухания.

Коэффициенты β - смешивания определяются выражением

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

Процесс называется β - перемешиванием , если эти коэффициенты ^{стремятся} к нулю при t → ∞ , β-перемешиванием с экспоненциальной скоростью затухания, если βt _< γe ⁻ δt для некоторого δ > 0 , и β-перемешиванием с дополнительным -экспоненциальная скорость затухания, если β _t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как . ^[2]${\displaystyle t\to \infty }$

Строго стационарный марковский процесс является β -перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β - смешивания всегда больше, чем коэффициенты α - смешивания, поэтому, если процесс является β - смешением, он также будет α -смешением. Прямой связи между β -смешением и ρ - смешением нет: ни одно из них не влечет за собой другое.

использованная литература