Средневзвешенная жизнь

В области финансов , то средневзвешенная жизнь (WAL) из кредита амортизировать или амортизировать связь, называемую также среднюю продолжительность жизнью , ^{[1] [2] [3]} является средневзвешенная из времен погашения основной суммы долга : это среднее время до выплачивается доллар основной суммы долга.

В формуле ^[4]

${\ displaystyle {\ text {WAL}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {P}} t_ {i},}$

куда:

• ${\ displaystyle P}$ - (общий) главный,
• ${\ displaystyle P_ {i}}$погашение основной суммы долга, включенное в платеж , следовательно,${\ displaystyle i}$
• ${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {P}}}$- это доля от общей суммы основного долга, которая включается в платеж , и${\ displaystyle i}$
• ${\ displaystyle t_ {i}}$- время (в годах) от даты расчета до платежа .${\ displaystyle i}$

При желании может быть расширен, как для ежемесячной облигации, где - часть месяца между датой расчета и датой первого денежного потока.${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {12}} (я + \ альфа -1)}$${\ displaystyle \ alpha}$

WAL классов ссуд [ править ]

В ссудах, допускающих предоплату , WAL не может быть рассчитан только на основе графика погашения; необходимо также сделать предположения о предоплате и поведении по умолчанию, и указанный WAL будет приблизительным. WAL обычно вычисляется из одной последовательности денежных потоков. Иногда смоделированный средний срок службы может быть вычислен из нескольких сценариев движения денежных средств, например, из модели спреда с поправкой на опционы . ^[5]

Понятия, связанные с данным [ править ]

WAL не следует путать со следующими отдельными понятиями:

Срок действия облигации

Дюрация облигации - это средневзвешенное время для получения дисконтированной приведенной стоимости всех денежных потоков (включая как основную сумму, так и проценты), в то время как WAL - это средневзвешенное время для получения простых выплат основной суммы (без учета процентов и без дисконтирования). . Для амортизируемой ссуды с равными платежами WAL будет выше, чем продолжительность, поскольку ранние платежи взвешиваются по процентам, а более поздние платежи - по основной сумме и, кроме того, с учетом приведенной стоимости (по продолжительности) более поздние платежи.

Время до выплаты 50% основной суммы долга

WAL - это среднее значение , а «50% от основной суммы погашения» - это среднее значение ; увидеть разницу между средним и медианным значением . Поскольку непогашенная основная сумма является вогнутой функцией (времени) для погашаемой ссуды с фиксированным платежом, менее половины основной суммы будет выплачено в WAL. Интуитивно это связано с тем, что большая часть выплаты основной суммы долга происходит в конце. Формально распределение выплат имеет отрицательный перекос : небольшие выплаты основной суммы в начале тянут вниз WAL (среднее) больше, чем они уменьшают медианное значение.

Средневзвешенный срок погашения (WAM)

WAM - это средний срок погашения нескольких ссуд, а не средний срок погашения основной суммы долга.

Приложения [ править ]

WAL - это показатель, который может быть полезен при анализе кредитного риска по ценным бумагам с фиксированным доходом, учитывая, что основной кредитный риск по ссуде - это риск потери основной суммы долга. При прочих равных условиях облигация с более длительной основной непогашенной суммой (т. Е. Более длинным WAL) имеет больший кредитный риск, чем облигация с более короткой WAL. В частности, WAL часто используется в качестве основы для сравнения доходности при расчетах I-спреда .

WAL не следует использовать для оценки чувствительности цены облигации к колебаниям процентных ставок, поскольку WAL включает только основные денежные потоки, исключая процентные платежи. Вместо этого следует использовать дюрацию облигации , которая включает все денежные потоки.

Примеры [ править ]

WAL ссуды (без амортизации) точно соответствует сроку погашения, так как основная сумма погашается точно в срок погашения.

По 30-летнему амортизируемому кредиту с ежемесячной выплатой равных сумм у каждого есть следующие WAL для данных годовых процентных ставок (и соответствующие ежемесячные платежи на 100000 долларов основного баланса, рассчитанные с помощью калькулятора амортизации и приведенных ниже формул, относящихся к амортизированным платежам, общему проценту , и WAL):

Обратите внимание, что по мере увеличения процентной ставки WAL увеличивается, поскольку основные платежи становятся все более невыполненными. WAL не зависит от сальдо основного долга, хотя выплаты и общая сумма процентов пропорциональны основной сумме долга.

Для купона 0%, когда основная сумма погашается линейно, WAL составляет ровно половину срока плюс половину периода выплаты, потому что основная сумма погашается в просрочку (в конце периода). Таким образом, для 30-летней ссуды с нулевой процентной ставкой с ежемесячной выплатой WAL составляет годы.${\displaystyle 15+1/24\approx 15.04}$

Общий процент [ править ]

WAL позволяет легко вычислить общие процентные платежи по формуле:

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

где r - годовая процентная ставка, а P - начальная основная сумма долга.

Интуитивно это можно понять следующим образом: «Средний доллар основной суммы долга является непогашенным для WAL, следовательно, проценты по среднему доллару равны , и теперь один умножается на основную сумму, чтобы получить общие процентные платежи».${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

Доказательство [ править ]

Более строго, можно получить следующий результат. Чтобы упростить представление, предположим, что платежи ежемесячные, поэтому периодическая процентная ставка - это годовая процентная ставка, деленная на 12, и время (время в годах - это номер периода в месяцах, больше 12).${\displaystyle t_{i}=i/12}$

Потом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

Общая сумма процентов составляет

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

где - основная сумма долга, непогашенная на начало периода i (это основная сумма долга, на которой основаны выплаты процентов i ). Заявление сводится к тому, чтобы показать это . Обе эти величины представляют собой взвешенную по времени общую сумму основного долга облигации (в периодах), и это просто разные способы ее разрезания: сумма учитывает, как долго каждый доллар основной суммы долга остается непогашенным (она срезается по горизонтали ), а величина подсчитывает, насколько большая часть основного долга остается невыполненной в каждый момент времени (он разрезает по вертикали ).${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$

Работа в обратном порядке и т. Д.: Непогашенная основная сумма долга, когда остаются k периодов, в точности равна сумме следующих k основных выплат. Основная сумма, выплаченная последним ( n- м) платежом, остается невыплаченной в течение всех n периодов, в то время как основная сумма, выплаченная предпоследним (( n  - 1) -м) платежом в счет основной суммы, остается невыплаченной в течение n  - 1 периода, и поэтому вперед. Используя это, суммы могут быть преобразованы в равные.${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}$

Например, если основная сумма амортизации будет составлять 100, 80, 50 долларов (с выплатами в 20, 30, 50 долларов), то сумма будет, с одной стороны, равной , а с другой - равной . Это продемонстрировано в следующей таблице, в которой показан график амортизации с разбивкой на выплаты по основной сумме, где каждый столбец - это , а каждая строка - :${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$${\displaystyle 100+80+50=230}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle iP_{i}}$

Вычисление WAL из амортизированного платежа [ править ]

Сказанное выше может быть отменено: учитывая условия (основная сумма , срок, ставка) и амортизированный платеж A , можно вычислить WAL, не зная графика амортизации. Общие платежи и общие процентные платежи равны , поэтому WAL составляет:${\displaystyle An}$${\displaystyle An-P}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

Аналогичным образом, общая процентная доля от основной суммы долга определяется по формуле :${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

Примечания и ссылки [ править ]

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (2000), Справочник по ценным бумагам с фиксированным доходом , ISBN 0-87094-985-3

См. Также [ править ]

• Калькулятор амортизации
• График погашения
• Погашение кредита