Модель Уиттекера

---

В теории представлений , разделе математики, модель Уиттекера — это реализация представления редуктивной алгебраической группы , такой как GL _2, над конечным , локальным или глобальным полем в пространстве функций группы. Она названа в честь Э. Т. Уиттекера , хотя он никогда не работал в этой области, поскольку (Jacquet  1966 , 1967 ) указал, что для группы SL ₂ ( R ) некоторые функции, участвующие в представлении, являются функциями Уиттекера .

Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а представления с моделью Уиттекера иногда называют «общими». Представление θ ₁₀ симплектической группы Sp ₄ является простейшим примером вырожденного представления.

Если G — алгебраическая группа GL ₂ , F — локальное поле, τ — фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F , а π — неприводимое представление общей линейной группы G ( F ), то модель Уиттекера ибо π — представление π в пространстве функций ƒ на G ( F ), удовлетворяющее

Жаке и Ленглендс (1970) использовали модели Уиттекера, чтобы назначить L-функции _{допустимым} представлениям GL 2 .

Пусть – общая линейная группа , гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер и подгруппа состоящая из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный характер на имеет вид${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$${\displaystyle U}$

для € и ненулевого € . Если является гладким представлением , функционал Уиттекера является непрерывным линейным функционалом на таком, что для всех ∈ , ∈ . Кратность единица утверждает, что для унитарной неприводимости пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.${\displaystyle u=(x_{ij})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots,\alpha _{n-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\pi,V)}$${\ displaystyle G (F)}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$${\displaystyle и}$${\displaystyle U}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$

---