Полиномиальный хаос

Полиномиальный хаос (PC) , также называемый расширением полиномиального хаоса ( PCE ) и расширением хаоса Винера , представляет собой метод представления случайной величины в терминах полиномиальной функции других случайных величин. Полиномы выбираются ортогональными по отношению к совместному распределению вероятностей этих случайных величин. PCE можно использовать, например, для определения развития неопределенности в динамической системе, когда в параметрах системы присутствует вероятностная неопределенность. Обратите внимание, что, несмотря на свое название, PCE не имеет непосредственной связи с теорией хаоса .. ^[1]

PCE был впервые введен в 1938 году Норбертом Винером с использованием полиномов Эрмита для моделирования стохастических процессов с гауссовскими случайными величинами. ^[2] Оно было представлено физическому и инженерному сообществу Р. Ганемом и П. Д. Спаносом в 1991 г. ^[3] и обобщено на другие семейства ортогональных полиномов Д. Сю и Г. Э. Карниадакисом в 2002 г. ^[4] Математически строгие доказательства существования и конвергенции обобщенного PCE были даны О.Г. Эрнстом и его сотрудниками в 2012 г. ^[5]

PCE нашел широкое применение в технике и прикладных науках, поскольку позволяет эффективно работать с вероятностной неопределенностью параметров системы. Он широко используется в стохастическом анализе методом конечных элементов ^[3] и в качестве суррогатной модели ^[6] для облегчения количественного анализа неопределенности .

Разложение полиномиального хаоса (PCE) обеспечивает способ представления случайной величины с конечной дисперсией (т . е . ) как функции -мерного случайного вектора с использованием полиномиального базиса, ортогонального распределению этого случайного вектора. Прототип PCE может быть записан как: ${\ Displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y) <\ infty}$ ${\ Displaystyle М}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Х}}$

В этом выражении - коэффициент и обозначает полиномиальную базисную функцию. В зависимости от распределения различают разные типы ФХЭ. ${\ Displaystyle с_ {я}}$ ${\ Displaystyle \ Пси _ {я}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Х}}$

Первоначальная формулировка PCE, использованная Норбертом Винером ^[2] , была ограничена случаем, когда - случайный вектор с гауссовым распределением. Рассматривая только одномерный случай (т . е. и ), полиномиальная базисная функция, ортогональная относительно распределения Гаусса, представляет собой набор полиномов Эрмита -й степени . Тогда PCE можно записать как: ${\ Displaystyle \ mathbf {Х}}$ ${\ Displaystyle М = 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Х} = Х}$ ${\ Displaystyle я}$ ${\ Displaystyle Н_ {я}}$ ${\ Displaystyle Y}$