Конвергенция Вейсмана

Сходимость по Вийсману - это разновидность сходимости по Хаусдорфу, подходящая для работы с неограниченными множествами . Интуитивно сходимость Вейсмана означает сходимость в метрике Хаусдорфа так же, как поточечная сходимость означает равномерную сходимость .

История [ править ]

Сходимость определил Роберт Вейсман . ^[1] То же определение ранее использовал Зденек Фролик . ^[2] Еще раньше Хаусдорф в своей книге Grundzüge der Mengenlehre определил так называемые закрытые пределы ; для собственных метрических пространств это то же самое, что сходимость Вейсмана.

Определение [ править ]

Пусть ( X , d ) метрическое пространство , и пусть Cl ( X ) обозначим совокупность всех г -замкнутости подмножеств X . Для точки x ∈ X и множества A ∈ Cl ( X ) положим

{\ displaystyle d (x, A) = \ inf _ {a \ in A} d (x, a).}

Последовательность (или чистая ) множеств _я ∈ Cl ( Х ) называется Wijsman сходится к A ∈ Cl ( X ) , если для каждого х ∈ Х ,

{\ displaystyle d (x, A_ {i}) \ to d (x, A).}

Сходимость Вейсмана индуцирует топологию на Cl ( X ), известную как топология Вейсмана .

Свойства [ править ]

Топология Вейсмана очень сильно зависит от метрики d . Даже если две метрики одинаково эквивалентны, они могут создавать разные топологии Вейсмана.
Теорема Бэра : если ( X , d ) является полным , разъемные метрическое пространство, то Cl ( X ) с топологией Wijsman является польское пространство , то есть оно отделимо и метризуемый с полной метрикой.
Cl ( X ) с топологией Вейсмана всегда является тихоновским пространством . Более того, имеется теорема Леви-Лечицки : ( X , d ) сепарабельно тогда и только тогда, когда Cl ( X ) либо метризуемо, либо счетно до первого, либо до второго счета .
Если поточечную сходимость сходимости Вейсмана заменить равномерной сходимостью (равномерно по x ), то получится сходимость по Хаусдорфу, где метрика Хаусдорфа задается формулой

{\ Displaystyle d _ {\ mathrm {H}} (A, B) = \ sup _ {x \ in X} {\ big |} d (x, A) -d (x, B) {\ big |}. }

Топологии Хаусдорфа и Вейсмана на Cl ( X ) совпадают тогда и только тогда, когда ( X , d ) - вполне ограниченное пространство .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания

^ Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II» . Пер. Амер. Математика. Soc . Американское математическое общество. 123 (1): 32–45. DOI : 10.2307 / 1994611 . JSTOR 1994611 . MR 0196599
^ Z. Frolík, О топологической сходимости множеств, Czechskovak Math. J. 10 (1960), 168–180

Библиография

Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. С. xii + 340. ISBN 0-7923-2531-1. MR 1269778
Пиво, Джеральд (1994). «Конвергенция Вейсмана: обзор». Установленный Анал . 2 (1–2): 77–94. DOI : 10.1007 / BF01027094 . Руководство по ремонту 1285822

Внешние ссылки [ править ]

Сом Наимпалли (2001) [1994], "Конвергенция Вейсмана" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II» . Пер. Амер. Математика. Soc . Американское математическое общество. 123 (1): 32–45. DOI : 10.2307 / 1994611 . JSTOR 1994611 . MR 0196599

[2] Z. Frolík, О топологической сходимости множеств, Czechskovak Math. J. 10 (1960), 168–180

[1]