Распространение в оболочке

В теории вероятностей и направленной статистике , A , завернутое распределение вероятностей является непрерывным распределением вероятностей , которая описывает точки данных , которые лежат на единице п -сферы . В одном измерении обернутое распределение будет состоять из точек на единичной окружности . Если φ - случайная величина в интервале (-∞, ∞) с функцией плотности вероятности p (φ) , то z = e ^{i φ} будет круговой переменной, распределенной согласно свернутому распределению p _zw (z) и θ = arg (z)будет угловой переменной в интервале (-π, π], распределенной согласно свернутому распределению p _w (θ) .

Любую функцию плотности вероятности (pdf) на линии можно «обернуть» по окружности круга единичного радиуса. ^[1] То есть PDF-файл обернутой переменной${\ Displaystyle р (\ фи)}$

${\ displaystyle \ theta = \ phi \ mod 2 \ pi}$ в некотором интервале длины ${\ displaystyle 2 \ pi}$

является

${\ displaystyle p_ {w} (\ theta) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {p (\ theta +2 \ pi k)}.}$

которая представляет собой периодическую сумму за период . Предпочтительный интервал , как правило , для которых${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle (- \ пи <\ тета \ leq \ pi)}$${\ Displaystyle \ пер (е ^ {я \ тета}) = \ арг (е ^ {я \ тета}) = \ тета}$

Теория [ править ]

В большинстве ситуаций процесс, включающий круговую статистику, создает углы ( ), которые лежат в интервале от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности и описываются функцией плотности вероятности "развернутой" . Однако измерение даст «измеренный» угол, который лежит в некотором интервале длины (например ). Другими словами, измерение не может сказать, был ли измерен «истинный» угол или измерен «свернутый» угол , где a - некоторое неизвестное целое число. То есть:${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle р (\ фи)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi +2 \ pi a}$

${\ displaystyle \ theta = \ phi +2 \ pi a.}$

Если мы хотим рассчитать ожидаемое значение некоторой функции измеренного угла, оно будет:

${\ displaystyle \ langle f (\ theta) \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p (\ phi) f (\ phi +2 \ pi a) d \ phi.}$

Мы можем выразить интеграл как сумму интегралов за периоды (например, от 0 до ):${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi .}$

Заменив переменную интегрирования на и поменяв порядок интегрирования и суммирования, мы имеем${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

где - это PDF-файл "завернутого" распределения, а a ' - другое неизвестное целое число (a' = a + k). Можно видеть, что неизвестное целое число a ' вносит неоднозначность в математическое ожидание . Конкретный пример этой проблемы встречается при попытке взять среднее значение набора измеренных углов . Если вместо измеренных углов ввести параметр, то будет видно, что z имеет однозначное отношение к «истинному» углу, поскольку:${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle z=e^{i\theta }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }.}$

Вычисление математического ожидания функции z даст однозначный ответ:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$

и именно по этой причине параметр z является предпочтительной статистической переменной для использования в циклическом статистическом анализе, а не измеренных углов . Это предполагает, и это показано ниже, что обернутая функция распределения может быть выражена как функция от z, так что:${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

где будет определен таким образом, что . Эта концепция может быть расширена до многомерного контекста путем расширения простой суммы до ряда сумм, охватывающих все измерения в пространстве признаков:${\displaystyle p_{w}(z)}$${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

где - евклидов базисный вектор.${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k}$

Выражение в терминах характеристических функций [ править ]

Основным обернутым распределением является гребенка Дирака, которая представляет собой обернутую дельта-функцию Дирака :

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}.}$

Используя дельта-функцию, можно записать общее упакованное распределение

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '.}$

Меняя порядок суммирования и интегрирования, любое свернутое распределение можно записать как свертку «развернутого» распределения и гребенки Дирака:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '.}$

Гребень Дирака также может быть выражен как сумма экспонент, поэтому мы можем написать:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

снова поменяв порядок суммирования и интегрирования,

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$

используя определение , на характеристическую функцию из , дает ряд Лорана около нуля для обернутого распределения в терминах характеристической функции развернутого распределения: ^[2]${\displaystyle \phi (s)}$${\displaystyle p(\theta )}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

или же

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}.}$

По аналогии с линейными распределениями, они называются характеристической функцией свернутого распределения ^[2] (или, возможно, более точно, характеристической последовательностью ). Это пример формулы суммирования Пуассона, и можно видеть, что коэффициенты Фурье ряда Фурье для свернутого распределения являются просто коэффициентами Фурье преобразования Фурье развернутого распределения при целочисленных значениях.${\displaystyle \phi (m)}$

Моменты [ править ]

Моменты обернутого распределения определяются как:${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz.}$

Выражение в терминах характеристической функции и изменение порядка интегрирования и суммирования дает:${\displaystyle p_{w}(z)}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz.}$

Из теории вычетов имеем

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

где - дельта- функция Кронекера . Отсюда следует, что моменты просто равны характеристической функции развернутого распределения для целочисленных аргументов:${\displaystyle \delta _{k}}$

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m).}$

Генерация случайных величин [ править ]

Если X - случайная переменная, полученная из линейного распределения вероятностей P , тогда будет круговая переменная, распределенная согласно свернутому P- распределению, и будет угловая вариация, распределенная согласно свернутому P- распределению, с .${\displaystyle Z=e^{iX}}$${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

Энтропия [ править ]

Информационная энтропия кругового распределения с плотностью вероятности определяются следующим образом: ^[1]${\displaystyle p_{w}(\theta )}$

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

где - любой интервал длины . Если и плотность вероятности, и ее логарифм могут быть выражены как ряд Фурье (или, в более общем смысле, любое интегральное преобразование на окружности), то свойство ортогональности может использоваться для получения последовательного представления энтропии, которое может быть приведено к замкнутой форме .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

Моменты распределения - это коэффициенты Фурье для разложения плотности вероятности в ряд Фурье:${\displaystyle \phi (n)}$

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$

Если логарифм плотности вероятности также можно выразить в виде ряда Фурье:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

куда

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$

Затем, поменяв порядок интегрирования и суммирования, энтропия может быть записана как:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$

Используя ортогональность базиса Фурье, интеграл можно свести к:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

Для частного случая, когда плотность вероятности симметрична относительно среднего, и логарифм можно записать:${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

и

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

и, так как нормализация требует , чтобы энтропия может быть записана:${\displaystyle \phi _{0}=1}$

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$

См. Также [ править ]

• Обернутое нормальное распределение
• Обернутое распределение Коши
• Обернутое экспоненциальное распределение

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле . Springer. ISBN 978-3-540-43603-4.
• Фишер, Н.И. (1996). Статистический анализ циркулярных данных . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56890-6.

Внешние ссылки [ править ]

• Математика и статистика круговых значений с помощью инфраструктуры C ++ 11 , C ++ 11 для круговых значений (углов, времени суток и т. Д.), Математики и статистики