Нулевой набор

---

В математическом анализе нулевой набор — это измеримый по Лебегу набор действительных чисел, имеющий нулевую меру . Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счетным объединением интервалов сколь угодно малой общей длины.

Понятие нулевого множества не следует путать с понятием пустого множества , как оно определено в теории множеств . Хотя пустое множество имеет нулевую меру Лебега , существуют также непустые множества, которые являются нулевыми. Например, любое непустое счетное множество действительных чисел имеет нулевую меру Лебега и, следовательно, является нулевым.

В более общем смысле, в данном пространстве меры нулевое множество — это такое множество, что${\displaystyle M=(X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle S\in \Sigma}$${\displaystyle \mu (S)=0.}$

Каждое конечное или счетно бесконечное подмножество действительных чисел является нулевым множеством. Например, набор натуральных чисел и набор рациональных чисел счетно бесконечны и, следовательно, являются нулевыми множествами, если рассматривать их как подмножества действительных чисел.

Предположим , что это такое подмножество реальной линии , что для каждого существует последовательность открытых интервалов (где интервал имеет длину ), такая что${\displaystyle А}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {length} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$

В терминологии математического анализа это определение требует, чтобы существовала последовательность открытых покрытий , для которой предел длин покрытий равен нулю.${\displaystyle А}$

---