Регуляризация дзета-функции

В математике и теоретической физике , дзета - функция регуляризация представляет собой тип регуляризации или метод суммирования , который присваивает конечные значения для расходящихся сумм или продуктов, и , в частности , могут быть использованы для определения детерминанта и следов некоторых операторов самосопряжённых . В настоящее время этот метод обычно применяется к задачам в физике , но он берет свое начало в попытках придать точный смысл плохо обусловленным суммам, появляющимся в теории чисел .

Определение [ править ]

Существует несколько различных методов суммирования, называемых регуляризацией дзета-функции для определения суммы возможно расходящихся рядов a ₁ + a ₂ + ....

Один из методов состоит в том, чтобы определить ее дзета-регуляризованную сумму как ζ _A (−1), если она определена, где дзета-функция определяется для больших Re ( s ) формулой

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

если эта сумма сходится, и аналитическим продолжением в другом месте.

В случае, когда a _n = n , дзета-функция является обычной дзета-функцией Римана . Этот метод был использован Эйлером для «суммирования» ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... до ζ (−1) = −1/12.

Хокинг (1977) показал, что в плоском пространстве, в котором известны собственные значения лапласианов, дзета-функция, соответствующая статистической сумме, может быть вычислена явно. Рассмотрим скалярное поле φ, содержащееся в большом ящике объема V в плоском пространстве-времени при температуре T  =  β ⁻¹ . Статистическая сумма определяется интегралом по путям по всем полям φ в евклидовом пространстве, полученным положением τ  =  it, которые равны нулю на стенках ящика и являются периодическими по τ с периодом β.. В этой ситуации из статистической суммы он вычисляет энергию, энтропию и давление излучения поля  φ . В случае плоских пространств собственные значения, входящие в физические величины, общеизвестны, в то время как в случае искривленного пространства они не известны: в этом случае необходимы асимптотические методы.

Другой метод определяет возможное расходящееся бесконечное произведение a ₁ a ₂ .... как exp (−ζ ′ _A (0)). Ray & Singer (1971) использовала для определения детерминанта положительных самосопряженного оператора А ( лапласовский из риманова многообразия в их применении) с собственными ₁ , с ₂ , ...., и в этом случае дзеты функция формально является следом A ^{- s} . Minakshisundaram & Pleijel (1949) показали, что если Aявляется лапласианом компактного риманова многообразия, то дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля сходится и имеет аналитическое продолжение как мероморфная функция на все комплексные числа, и Сили (1967) распространил это на эллиптические псевдодифференциальные операторы A на компактных римановых многообразиях. Таким образом, для таких операторов можно определить определитель, используя регуляризацию дзета-функции. См. « Аналитическое кручение ».

Хокинг (1977) предложил использовать эту идею для вычисления интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени. Он изучал регуляризацию дзета-функции, чтобы вычислить статистические суммы для теплового гравитона и квантов материи на искривленном фоне, например, на горизонте черных дыр и на фоне де Ситтера, используя соотношение обратного преобразования Меллина к следу ядра тепла. уравнения .

Пример [ править ]

Первый пример, в котором доступна регуляризация дзета-функции, появляется в эффекте Казимира, который находится в плоском пространстве с объемными вкладами квантового поля в трех пространственных измерениях. В этом случае мы должны вычислить значение дзета-функции Римана при -3 , которое явно расходится. Однако его можно аналитически продолжить до s = -3, где, надеюсь, нет полюса, что дает конечное значение выражению. Подробный пример этой регуляризации в действии приведен в статье о подробном примере эффекта Казимира , где результирующая сумма очень явно является дзета-функцией Римана. (и где, казалось бы, более легкое аналитическое продолжение удаляет аддитивную бесконечность, оставляя физически значимое конечное число).

Пример дзета-функции регуляризации является вычисление ожидаемого значения вакуума от энергии поля частиц в квантовой теории поля . В более общем плане подход дзета-функции может быть использован для регуляризации всего тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени. ^{[1] [2]}

Нерегулируемое значение энергии определяется суммированием энергии нулевой точки всех мод возбуждения вакуума:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

Здесь - нулевая составляющая тензора энергии-импульса, а сумма (которая может быть интегралом), как понимается, распространяется на все (положительные и отрицательные) моды энергии ; абсолютное значение, напоминающее нам, что энергия считается положительной. Эта сумма, как написано, обычно бесконечна ( обычно линейна по n). Сумму можно упорядочить , записав ее как${\displaystyle T_{00}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

где s - некоторый параметр, принимаемый за комплексное число . Для больших вещественных s больше 4 (для трехмерного пространства) сумма явно конечна и поэтому часто может быть вычислена теоретически.

Дзета-регуляризация полезна, поскольку ее часто можно использовать таким образом, чтобы сохранить различные симметрии физической системы. Регуляризация дзета-функции используется в конформной теории поля , перенормировке и для фиксации критической размерности пространства-времени в теории струн .

Связь с другими регуляризациями [ править ]

Мы можем спросить, есть ли какие-либо отношения к размерной регуляризации, порожденной диаграммой Фейнмана. Но теперь мы можем сказать, что они эквивалентны друг другу, см. ^[3] . Однако главное преимущество дзета-регуляризации заключается в том, что ее можно использовать всякий раз, когда размерная регуляризация не удается, например, если в вычислениях есть матрицы или тензоры.${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

Отношение к серии Дирихле [ править ]

Регуляризация дзета-функции дает аналитическую структуру для любых сумм по арифметической функции f ( n ). Такие суммы известны как ряд Дирихле . Упорядоченная форма

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

преобразует дивергенции суммы в простые полюсы на сложной s- плоскости. В численных расчетах регуляризация дзета-функции неуместна, поскольку она очень медленно сходится. Для численных целей более быстро сходящейся суммой является экспоненциальная регуляризация, задаваемая формулой

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

Иногда это называют Z-преобразованием функции f , где z  = exp (- t ). Аналитическая структура экспоненциальной и дзета-регуляризации взаимосвязаны. Раскладывая экспоненциальную сумму в ряд Лорана

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

обнаруживается, что дзета-серия имеет структуру

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

Структура экспоненциального и дзета-регуляторов связана с помощью преобразования Меллина . Одно можно преобразовать в другое, используя интегральное представление гамма-функции :

${\displaystyle \Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}\,dx}$

которые приводят к идентичности

${\displaystyle \Gamma (s+1){\tilde {f}}(s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t)\,dt}$

связывая экспоненциальные и дзета-регуляторы и преобразуя полюса в s-плоскости в расходящиеся члены в ряду Лорана.

Регуляризация теплового ядра [ править ]

Сумма

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

иногда называют тепловым ядром или регуляризованной суммой теплового ядра ; это название происходит от идеи, что иногда можно понимать как собственные значения теплового ядра . В математике такая сумма известна как обобщенный ряд Дирихле ; его использование для усреднения называется абелевым средним . Он тесно связан с преобразованием Лапласа – Стилтьеса в том смысле , что${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

где - ступенчатая функция с шагом при . Существует ряд теорем сходимости такого ряда. Например, по тауберовской теореме Харди-Литтлвуда, если ^[4]${\displaystyle \alpha (t)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

то ряд для сходится в полуплоскости и равномерно сходится на каждом компактном подмножестве полуплоскости . Почти во всех приложениях к физике${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle L=0}$

История [ править ]

Большая часть ранних работ, устанавливающих сходимость и эквивалентность рядов, регуляризованных с помощью теплового ядра и методов регуляризации дзета-функции, была сделана Дж. Харди и Дж. Литтлвудом в 1916 году ^[5] и основана на применении интеграла Каена – Меллина . Усилия были предприняты, чтобы получить значения для различных плохо определенных, условно сходящихся сумм, появляющихся в теории чисел .

Что касается применения в качестве регулятора в физических задачах, до Хокинга (1977) Дж. Стюарт Даукер и Раймонд Кричли в 1976 году предложили метод регуляризации дзета-функции для квантовых физических задач. ^[6] Эмилио Элизальде и другие также предложили метод, основанный на дзета-регуляризации для интегралов , вот регулятор, а расходящийся интеграл зависит от чисел в пределе, см. Перенормировку . Также в отличие от других регуляризаций, таких как размерная регуляризация и аналитическая регуляризация, дзета-регуляризация не имеет контрчленов и дает только конечные результаты.${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$${\displaystyle x^{-s}}$${\displaystyle \zeta (s-m)}$${\displaystyle s\to 0}$

См. Также [ править ]

• Производящая функция
• Формула Перрона
• Перенормировка
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Аналитическое кручение
• Рамануджан суммирование
• Дзета-функция Минакшисундарама – Плейжеля
• Дзета-функция (оператор)

Ссылки [ править ]

• ^ Том М. Апостол, "Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел", "Springer-Verlag New York. (См. Главу 8.)"
• ^ А. Быценко, Г. Коньола, Э. Элизальде, В. Моретти и С. Зербини, «Аналитические аспекты квантовых полей», World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6
• ^ Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, "Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел",Acta Mathematica,41(1916), стр. 119–196. (См., Например, теорему 2.12)
• Хокинг, С.В. (1977), "Регуляризация дзета-функцией интегралов по траекториям в искривленном пространстве-времени", Сообщения в области математической физики , 55 (2): 133–148, Bibcode : 1977CMaPh..55..133H , doi : 10.1007 / BF01626516 , ISSN  0010-3616 , MR  0524257
• ^ В. Моретти, "Прямой подход z-функции и перенормировка однопетлевого тензора напряжений в искривленном пространстве-времени",Phys. Rev.D 56, 7797(1997).
• Minakshisundaram, S .; Плейель, Å. (1949), "Некоторые свойства собственных функций Лапласа-оператора на римановых многообразиях" , Canadian Journal математики , 1 (3): 242-256, DOI : 10,4153 / CJM-1949-021-5 , ISSN  0008-414X , Руководство по ремонту  0031145
• Ray, DB; Певец, И. М. (1971), " R -кручения и лапласиан на римановых многообразиях", Успехи в математике , 7 (2): 145-210, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , МР  0295381
• "Метод дзета-функции для регуляризации" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Calderón, Альберто П. (ред.), Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Чикаго, Иллинойс, 1966) , Proceedings of Symposia in Чистая математика, 10 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 288–307, ISBN. 978-0-8218-1410-9, MR  0237943
• ^ JS Dowker и R. Critchley, Эффективный лагранжиан и тензор энергии-импульса в пространстве де Ситтера,Phys. Ред. D 13, 3224(1976).