U(1)

---

${\displaystyle U(1)}$ (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе ${\displaystyle SO(2)}$ вращений двумерного вещественного пространства.

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера ${\displaystyle 1\times 1}$. Данная группа естественным образом изоморфна группе ${\displaystyle SO(2)}$ вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как ${\displaystyle T}$ или ${\displaystyle \mathbb {T} }$ в связи с тем, что квадрат этой группы ${\displaystyle \mathbb {T} \times \mathbb {T} }$ представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп ${\displaystyle \mathbb {T} }$, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

${\displaystyle U(1)}$ упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: ${\displaystyle \partial D}$) или просто «окружность» (${\displaystyle S}$ или ${\displaystyle S^{1}}$).

Группа ${\displaystyle U(1)}$ компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную ${\displaystyle U(1)}$.

Группа ${\displaystyle U(1)}$ не является односвязной.

---