Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание[1]; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида где — вещественные числа, — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: Множество комплексных чисел обычно обозначается символом Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид Главное свойство — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен -й степени () имеет корней. Доказано , что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания , умножения и деления . Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше . Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости ; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси . Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней . Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе .
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс . Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[4].