В математике , то (2,1) -Pascal треугольник (зеркальный Лукас треугольник [1] ) является треугольной матрицей .
Строки (2,1) -треугольника Паскаля (последовательность A029653 в OEIS ) [2] условно нумеруются, начиная со строки n = 0 вверху (0-я строка). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная с k = 0, и обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строках.
Треугольник основан на Треугольнике Паскаля со второй строкой (2,1) и первой ячейкой каждой строки, равной 2.
Эта конструкция связана с биномиальными коэффициентами по правилу Паскаля , причем одним из членов является.
Паттерны и свойства
(2,1) -Треугольник Паскаля имеет множество свойств и содержит множество шаблонов чисел. Ее можно рассматривать как сестру треугольника Паскаля , точно так же, как последовательность Лукаса является сестрой последовательности Фибоначчи . [ необходима цитата ]
Рядов
- За исключением строки n = 0, 1, сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 1 имеет значение 3, строка 2 имеет значение 6, строка 3 имеет значение 12 и так далее. Это потому, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строки n равна. (последовательность A003945 в OEIS ) (последовательность A007283 в OEIS )
- Значение строки , если каждая запись считается десятичным разрядом (и соответственно переносятся числа больше 9), представляет собой степень 11, умноженную на 21 (, для строки n ). Таким образом, в строке 2 2 , 3, 1⟩ превращается в, а 2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ в пятой строке становится (после переноса) 307461, что является. Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (2 x + 1) ( x + 1) n −1 и корректировкой значений в десятичной системе. Но можно выбрать x , чтобы строки могли представлять значения в любой базе .
- Полярность: еще один интересный паттерн, когда строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются последовательно, каждая строка со средним числом, то есть строки с нечетным числом целых чисел, всегда равны 0. Пример, строка 4 равна 2 7 9 5 1 , поэтому формула будет 9 - (7 + 5) + (2 + 1) = 0 , строка 6 будет 2 11 25 30 20 7 1 , поэтому формула будет 30 - (25 + 20) + ( 11 + 7) - (2 + 1) = 0 . Таким образом, каждая четная строка треугольника Паскаля равна 0, когда вы берете среднее число, затем вычитаете целые числа непосредственно рядом с центром, затем складываете следующие целые числа, затем вычитаете и так далее и так далее, пока не дойдете до конца строки.
- Или мы можем сказать, что когда мы берем первый член строки, затем вычитаем второй член, затем добавляем третий член, затем вычитаем и т. Д. И т. Д., Пока вы не дойдете до конца строки, результат всегда будет равен 0.
- ряд 3: 2-3 + 1 = 0
- ряд 4: 2-5 + 4-1 = 0
- ряд 5: 2-7 + 9-5 + 1 = 0
- 6 ряд: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
- 7 ряд: 2-11 + 25-30 + 20-7 + 1 = 0
- 8 ряд: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0
Диагонали
Диагонали треугольника Паскаля содержат фигурные числа симплексов:
- Диагонали, идущие по правым краям, содержат только единицы, в то время как диагонали, идущие по правым краям, содержат только 2, кроме первой ячейки.
- Диагонали рядом с диагональю левого края содержат нечетные числа по порядку.
- Диагонали рядом с диагональю правого края содержат по порядку натуральные числа .
- Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит квадратные числа и треугольные числа минус 1 по порядку.
- Следующая пара диагоналей содержит квадратное пирамидальное число по порядку, а следующая пара дает четырехмерные пирамидальные числа (последовательность A002415 в OEIS ).
Общие закономерности и свойства
- Узор, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень напоминает фрактал, называемый треугольником Серпинского . Это сходство становится все более точным по мере того, как рассматривается больше строк; в пределе, когда количество строк приближается к бесконечности, результирующий узор представляет собой треугольник Серпинского, предполагающий фиксированный периметр. [3] В более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т.д .; это приводит к другим подобным образцам.
- Представьте, что каждое число в треугольнике - это узел в сетке, который связан с соседними числами над и под ним. Теперь для любого узла в сетке подсчитайте количество путей в сетке (без возврата), которые соединяют этот узел с верхним узлом (1) треугольника. Ответ - это номер Паскаля, связанный с этим узлом.
- Одно свойство треугольника раскрывается, если строки выровнены по левому краю. В приведенном ниже треугольнике, диагональной цветные полосы к сумме последовательных чисел Фибоначчи и Люка . [4]
1 2 1 2 3 1 2 5 4 1 2 7 9 5 1 2 9 16 14 6 1 2 11 25 30 20 7 1 2 13 36 55 50 27 8 1 2 15 49 91 105 77 35 год 9 1
1 2 1 2 3 1 2 5 4 1 2 7 9 5 1 2 9 16 14 6 1 2 11 25 30 20 7 1 2 13 36 55 50 27 8 1 2 15 49 91 105 77 35 год 9 1
- Эта конструкция также связана с расширением , с использованием .
- тогда
Рекомендации
- ^ "(1,2) -Треугольник Паскаля - OeisWiki" . oeis.org . Проверено 23 февраля 2016 .
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A029653 (Числа в (2,1) -треугольнике Паскаля (по строкам))» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Проверено 24 декабря 2015 .
- ^ Вольфрам, С. (1984). «Вычислительная теория клеточных автоматов». Comm. Математика. Phys . 96 : 15–57. Bibcode : 1984CMaPh..96 ... 15W . DOI : 10.1007 / BF01217347 .
- ^ «Точное значение постоянной тонкой структуры. - Страница 7 - Физика и математика» . Научные форумы . Проверено 1 февраля 2016 .