Пустой продукт
В математике пустой продукт , или нулевой продукт , или пустой продукт — это результат умножения без множителей. По соглашению оно равно мультипликативному тождеству (при условии, что существует тождество для рассматриваемой операции умножения), точно так же, как пустая сумма — результат отсутствия сложения чисел — по соглашению равно нулю или аддитивному тождеству. [1] [2] [3] [4] Когда числа подразумеваются, пустой продукт становится единицей.
Термин пустой продукт чаще всего используется в указанном выше смысле при обсуждении арифметических операций. Однако этот термин иногда используется при обсуждении теоретико-множественных пересечений, категориальных продуктов и продуктов в компьютерном программировании; они обсуждаются ниже.
Если верхняя граница суммирования меньше, чем нижняя граница суммирования индекса суммирования , то индекс должен «идти назад», т. е. он пробегает нулевые элементы, и поэтому определяется как .
Разрешение «произведения» с нулевыми коэффициентами уменьшает количество случаев, которые необходимо учитывать во многих математических формулах. Такой «продукт» является естественной отправной точкой в индукционных доказательствах , а также в алгоритмах. По этим причинам соглашение «пустой продукт равен единице» является обычной практикой в математике и компьютерном программировании.
Понятие пустого произведения полезно по той же причине, по которой полезны число ноль и пустое множество : хотя они кажутся совершенно неинтересными понятиями, их существование позволяет значительно сократить математическое представление многих предметов.
Например, пустые продукты 0! = 1 ( факториал нуля) и x 0 = 1 сокращают обозначение ряда Тейлора (см. ноль в степени нуля для обсуждения, когда x = 0). Точно так же, если M является матрицей размера n × n , то M 0 является единичной матрицей размера n × n , что отражает тот факт, что применение линейной карты нуль раз имеет тот же эффект, что и применение карты единиц .