Суммирование по частям

В математике , суммирование по частям превращает суммирование произведений последовательностей в другие сложений, часто упрощает вычисление или (особенно) оценку определенных типов сумм. Ее также называют леммой Абеля или преобразованием Абеля в честь Нильса Хенрика Абеля, который ввел ее в 1826 году ^[1].

Заявление

Предположим, что и - две последовательности . Затем,${\ Displaystyle \ {е_ {к} \}}$${\ displaystyle \ {g_ {k} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} f_ {k} (g_ {k + 1} -g_ {k}) = \ left (f_ {n} g_ {n + 1} -f_ {m } g_ {m} \ right) - \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} g_ {k} (f_ {k} -f_ {k-1}).}$

Используя оператор прямой разности , его можно более кратко сформулировать как${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} f_ {k} \ Delta g_ {k} = \ left (f_ {n} g_ {n + 1} -f_ {m} g_ {m} \ right) ) - \ sum _ {k = m} ^ {n-1} g_ {k + 1} \ Delta f_ {k},}$

Суммирование по частям - это аналог интегрирования по частям :

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

или к формуле суммирования Абеля :

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

Альтернативное заявление

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

которая аналогична формуле интегрирования по частям для семимартингалов .

Хотя приложения почти всегда имеют дело с сходимостью последовательностей, утверждение является чисто алгебраическим и будет работать в любой области . Это также будет работать, когда одна последовательность находится в векторном пространстве , а другая - в соответствующем поле скаляров.

Серия Ньютон

Формула иногда приводится в одной из этих - немного отличающихся - форм.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

которые представляют собой частный случай ( ) более общего правила${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

оба являются результатом повторного применения исходной формулы. Вспомогательные величины представляют собой ряды Ньютона :

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

и

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

Конкретный результат ( ) - это тождество${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

Здесь - биномиальный коэффициент .${\displaystyle {n \choose k}}$

Метод

Для двух данных последовательностей и , при , требуется изучить сумму следующих рядов:${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

Если мы определим,   то для каждого   и${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$${\displaystyle n>0,}$  ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$

${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$

${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{0}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$

Наконец  ${\displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Этот процесс, называемый преобразованием Абеля, можно использовать для доказательства нескольких критериев сходимости для .${\displaystyle S_{N}}$

Сходство с интеграцией по частям

Формула для интегрирования по частям: Помимо граничных условий , мы замечаем, что первый интеграл содержит две умноженные функции, одна из которых интегрируется в окончательный интеграл ( становится ), а другая дифференцируется ( становится ).${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$
${\displaystyle g'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

Процесс преобразования Абеля аналогичен, поскольку одна из двух исходных последовательностей суммируется ( становится ), а другая различается ( становится ).${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

Приложения

• Он используется для доказательства леммы Кронекера , которая, в свою очередь, используется для доказательства версии усиленного закона больших чисел при дисперсионных ограничениях.
• Его можно использовать для доказательства теоремы Никомаха о том, что сумма первых кубиков равна квадрату суммы первых натуральных чисел. ^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• Суммирование по частям часто используется для доказательства теорем Абеля и критерия Дирихле .
• Можно также использовать эту технику для доказательства теста Абеля : если - сходящийся ряд и ограниченная монотонная последовательность , то сходится.${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

Доказательство теста Абеля. Суммирование по частям дает

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$

где а - предел . Как сходится, ограничена независимо от , скажем, . Как до нуля, так и за первые два члена. Третий член обращается в нуль по критерию Коши для . Оставшаяся сумма ограничена${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \sum b_{n}}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{n}-a}$${\displaystyle \sum b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$

монотонностью , а также стремится к нулю при .${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle N\to \infty }$

• Используя то же доказательство, что и выше, можно показать, что если

1. частичные суммы образуют ограниченную последовательность независимо от  ;${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$(так что сумма стремится к нулю, как и к бесконечности)${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

затем сходится.${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

В обоих случаях сумма ряда удовлетворяет:${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$

Операторы суммирования по частям для конечно-разностных методов высокого порядка

Оператор конечных разностей суммирования по частям (SBP) обычно состоит из внутренней схемы с централизованной разностью и определенных граничных шаблонов, которые имитируют поведение соответствующей формулировки по частям. ^{[3] [4]} Граничные условия обычно устанавливаются методом одновременного приближения (SAT). ^[5] Комбинация SBP-SAT представляет собой мощную основу для обработки границ. Этот метод является предпочтительным из-за хорошо доказанной стабильности для длительного моделирования и высокого порядка точности.

Смотрите также

• Сходящийся ряд
• Расходящаяся серия
• Интеграция по частям
• Чезаро суммирование
• Теорема Абеля
• Формула суммы Абеля

использованная литература

Список используемой литературы

• Абель, Нилс Хенрик (1826). "Untersuchungen über die Reihe usw". J. Reine Angew. Математика. 1 : 311–339.${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$