Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Александр рогатый шар

Александр рогатой сферы является патологическим объектом в топологии обнаружен JW Александр  ( 1924 ).

Строительство [ править ]

Схема первых нескольких итеративных шагов в построении рогатой сферы Александра из оригинальной статьи Александра 1924 года.

Дикая сфера является частное вложением из сферы в 3-мерном евклидове пространства , полученного с помощью следующей конструкции, начиная с стандартным тором : [1]

  1. Удалите радиальный срез тора.
  2. Подсоедините стандартный проколотый тор к каждой стороне разреза, соединенный с тором на другой стороне.
  3. Повторите шаги 1–2 для двух только что добавленных торов до бесконечности .

Если рассматривать только те точки торов, которые не удаляются на каком-то этапе, вложение приводит к сфере с удаленным канторовым множеством . Это вложение распространяется на всю сферу, поскольку точки, приближающиеся к двум разным точкам множества Кантора, будут находиться, по крайней мере, на фиксированном расстоянии друг от друга в конструкции.

Влияние на теорию [ править ]

Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью является топологическим 3-шаром , рогатым шаром Александра , и поэтому односвязна ; т.е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не просто связан, в отличие от внешнего вида обычной круглой сферы; петлю, соединяющую тор в приведенной выше конструкции, нельзя сжать до точки, не касаясь рогатой сферы. Это показывает, что теорема Жордана – Шенфлиса не верна в трех измерениях, как первоначально думал Александер. Александр также доказал , что теорема делает захват в трех измерениях для кусочно - линейных / сглаживатьвложения. Это один из самых ранних примеров , когда необходимость различия между категориями из топологических многообразий , дифференцируемых многообразий и кусочно - линейных многообразий стали очевидной.

Теперь рассмотрим рогатую сферу Александра как вложение в трехмерную сферу , рассматриваемую как одноточечную компактификацию трехмерного евклидова пространства R 3 . Закрытие неперемещенной односвязной области называется твердое тело Александр рогатой сферы . Хотя твердая рогатая сфера не является многообразием , Р. Х. Бинг показал, что ее дубль (который представляет собой 3-многообразие, полученное склеиванием двух копий рогатой сферы вместе по соответствующим точкам их границ) на самом деле является 3-сферой. [2]Можно рассматривать другие приклеивания твердой рогатой сферы к своей копии, возникающие в результате различных гомеоморфизмов граничной сферы самой себе. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра - пример смятого куба ; т.е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.

Обобщения [ править ]

Можно обобщить конструкцию Александра на создание других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.

Существуют и другие существенно отличные конструкции для создания таких «диких» сфер. Другой пример, также найденный Александром, - это рогатая сфера Антуана , основанная на ожерелья Антуана , патологическое вложение кантора в 3-сферу.

См. Также [ править ]

  • Поверхность дерева Кантора
  • Список топологий
  • Платоново твердое тело
  • Дикая дуга , в частности дуга Фокса – Артина

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хокинг & Young 1988 , стр. 175-176. Спивак 1999 , стр. 55
  2. ^ Bing, RH (1952), "Гомеоморфизм между 3-сферой и суммой два твердых сфер рогатых", Анналы математики , второй серия, 56 : 354-362, DOI : 10,2307 / 1969804 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969804 , MR  0049549
  • Александр, JW (1924), "Пример просто соединенной поверхности, ограничивающей область, которая не просто соединена", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , Национальная академия наук, 10 (1): 8 –10, Bibcode : 1924PNAS ... 10 .... 8A , doi : 10.1073 / pnas.10.1.8 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  84202 , PMC  1085500 , PMID  16576780
  • Фукс, Дмитрий ; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус. 30 Лекции по классической математике , Providence, RI: Американского математического общества, DOI : 10,1090 / MBK / 046 , ISBN 978-0-8218-4316-1, MR  2350979
  • Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
  • Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. ISBN 0-486-65676-4.
  • Спивак, Майкл (1999). Подробное введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-70-5.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Рогатая сфера Александра» . MathWorld .
  • Збигнев Федорович. Math 655 - Введение в топологию. [1] - Конспекты лекций
  • Строительство Александровской сферы
  • вращающаяся анимация
  • Демонстрационный рендеринг OpenGL на ПК и расширение куспида