Алгебраическая статистика

Алгебраическая статистика - это использование алгебры для продвижения статистики . Алгебра была полезна для планирования экспериментов , оценки параметров и проверки гипотез .

Традиционно алгебраическая статистика была связана с планированием экспериментов и многомерным анализом (особенно временными рядами ). В последние годы термин «алгебраическая статистика» иногда ограничивался, иногда использовался для обозначения использования алгебраической геометрии и коммутативной алгебры в статистике.

Традиция алгебраической статистики [ править ]

В прошлом статистики использовали алгебру для продвижения исследований в области статистики. Некоторая алгебраическая статистика привела к развитию новых тем в алгебре и комбинаторике, таких как схемы ассоциаций .

Дизайн экспериментов [ править ]

Например, Рональд А. Фишер , Генри Б. Манн и Розмари А. Бейли применили абелевы группы к планированию экспериментов . Экспериментальные образцы были изучены с аффинной геометрии над конечными полями , а затем с введением схем ассоциации по RC Bose . Ортогональные массивы были введены CR Rao также для экспериментальных проектов.

Алгебраический анализ и абстрактный статистический вывод [ править ]

Инвариантные меры на локально компактных группах давно используются в статистической теории , особенно в многомерном анализе . Бъёрлинга «s факторизации теоремы и большая часть работы по (аннотация) гармонический анализ искал более глубокое понимание Вольда разложения в стационарных случайных процессов , что имеет важное значение в временных рядов статистических данных.

Объединив предыдущие результаты по теории вероятностей для алгебраических структур, Ульф Гренандер разработал теорию «абстрактного вывода». Абстрактный вывод Гренандера и его теория закономерностей полезны для пространственной статистики и анализа изображений ; эти теории опираются на теорию решеток .

Частично упорядоченные множества и решетки [ править ]

Частично упорядоченные векторные пространства и векторные решетки используются в статистической теории. Garrett Биркгофу метризоватъ положительный конус с использованием Гильберта проективной метрики и доказал теорему Jentsch в использовании сжимающих отображений теоремы . ^[1] Джонатан Борвейн и его коллеги использовали результаты Биркгофа для оценки максимальной энтропии (которую можно рассматривать как линейное программирование в бесконечных измерениях ) .

Векторные решетки и конические меры были введены в статистической теории принятия решений по Люсьен Ле Кам .

Недавние работы с использованием коммутативной алгебры и алгебраической геометрии [ править ]

В последние годы термин «алгебраическая статистика» стал использоваться более ограниченно, чтобы обозначить использование алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для изучения проблем, связанных с дискретными случайными величинами с пространствами конечных состояний. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия имеют приложения в статистике, потому что многие обычно используемые классы дискретных случайных величин можно рассматривать как алгебраические многообразия .

Вводный пример [ править ]

Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать значения 0, 1, 2. Такая переменная полностью характеризуется тремя вероятностями

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i),\quad i=0,1,2}$

и эти числа удовлетворяют

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1.}$

И наоборот, любые три таких числа однозначно определяют случайную величину, поэтому мы можем идентифицировать случайную величину X с кортежем ( p ₀ , p ₁ , p ₂ ) ∈ R ³ .

Теперь предположим, что X - биномиальная случайная величина с параметром q и n = 2 , т.е. X представляет количество успехов при повторении определенного эксперимента два раза, где каждый эксперимент имеет индивидуальную вероятность успеха q . потом

${\displaystyle p_{i}=\mathrm {Pr} (X=i)={2 \choose i}q^{i}(1-q)^{2-i}}$

и нетрудно показать, что наборы ( p ₀ , p ₁ , p ₂ ), которые возникают таким образом, в точности удовлетворяют

${\displaystyle 4p_{0}p_{2}-p_{1}^{2}=0.\ }$

Последнее является полиномиальным уравнением, определяющим алгебраическое многообразие (или поверхность) в R ³ , и это многообразие при пересечении с симплексом, заданным формулой

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2}p_{i}=1\quad {\mbox{and}}\quad 0\leq p_{i}\leq 1,}$

дает часть алгебраической кривой, которую можно отождествить с множеством всех переменных Бернулли с 3 состояниями. Определение параметра q сводится к нахождению одной точки на этой кривой; Проверка гипотезы о том, что данная переменная X является Бернулли, сводится к проверке того, лежит ли определенная точка на этой кривой или нет.

Применение алгебраической геометрии к теории статистического обучения [ править ]

Алгебраическая геометрия также недавно нашла применение в статистическую теорию обучения , в том числе обобщения по информации критерия Акаика в особые статистические модели . ^[2]

Ссылки [ править ]

• Р. А. Бейли . Схемы ассоциации: разработанные эксперименты, алгебра и комбинаторика , Cambridge University Press , Кембридж, 2004. 387 с. ISBN 0-521-82446-X . (Главы из предварительного проекта доступны on-line) 
• Калински, Тадеуш; Кагеяма, Санпей (2003). Блочные конструкции: подход рандомизации, Том II : Дизайн . Конспект лекций по статистике. 170 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95470-8.
• Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2005). Планирование и анализ экспериментов, Том 2: Расширенный экспериментальный дизайн (Первое изд.). Вайли. ISBN 978-0-471-55177-5.
• HB Mann . 1949. Анализ и дизайн экспериментов: анализ вариаций и вариационный анализ планов . Дувр.
• Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы в дизайне экспериментов (исправленная перепечатка изд. Wiley 1971 г.). Нью-Йорк: Дувр.
• Рагхаварао, Дамараджу ; Пэджетт, LV (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . World Scientific.
• Улица, Энн Пенфолд ; Улица, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального дизайна . Оксфорд UP [Кларендон]. ISBN 0-19-853256-3.
• Л. Пахтер и Б. Штурмфельс . Алгебраическая статистика для вычислительной биологии. Издательство Кембриджского университета 2005.
• Г. Пистоне, Э. Риккоманго, HP Wynn. Алгебраическая статистика. CRC Press, 2001.
• Дртон, Матиас, Штурмфельс, Бернд , Салливант, Сет. Лекции по алгебраической статистике , Springer 2009.
• Watanabe, Sumio. Algebraic Geometry and Statistical Learning Theory, Cambridge University Press 2009.
• Paolo Gibilisco, Eva Riccomagno, Maria-Piera Rogantin, Henry P. Wynn. Algebraic and Geometric Methods in Statistics, Cambridge 2009.

External links[edit]

• Algebraic Statistics
• Archives of discontinued Journal of Algebraic Statistics