Широкий линейный пакет

Отличительной чертой алгебраической геометрии в математике является то, что некоторые линейные расслоения на проективном многообразии можно считать «положительными», а другие - «отрицательными» (или их смесью). Наиболее важным понятием положительности является понятие обильного линейного расслоения, хотя существует несколько связанных классов линейных расслоений. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных секций . Понимание обильных линейных расслоений на заданном многообразии X сводится к пониманию различных способов отображения X в проективное пространство . Ввиду соответствия линейных расслоений и делителей(построенный из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие обильного дивизора .

Более подробно линейное расслоение называется бесбазисным, если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать морфизм проективному пространству. Линейный пучок называется полуобильным , если некоторая его положительная степень не имеет базисных точек; полуобширность есть своего рода «неотрицательность». Более строго, линейное расслоение на X очень обильное , если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать замкнутое погружение (или «вложение») X в проективное пространство. Линейный пучок обилен , если некоторая положительная мощность очень обильна.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой в X . Обратное не совсем верно, но есть исправленные варианты обратного, критерии обильности Накаи–Мойшезона и Клеймана.

Учитывая морфизм схем , векторное расслоение E на Y ( или, в более общем случае, когерентный пучок на Y ) имеет обратный образ на X ( см. Пучок модулей#Операции ). Обратный образ векторного расслоения — это векторное расслоение того же ранга. В частности, прообраз линейного расслоения является линейным расслоением. (Короче говоря, слой в точке x в X — это слой E в точке f ( x ).) ${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ к Y}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} Е}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} Е}$

Понятия, изложенные в статье, связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве , глобальные сечения которого являются однородными многочленами степени 1 (т. е. линейными функциями) от переменных . Линейное расслоение O (1) также можно описать как линейное расслоение, связанное с гиперплоскостью в (поскольку нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Например, если f является замкнутым погружением, из этого следует, что обратный образ — это линейное расслоение на X , связанное с гиперплоским сечением (пересечение X с гиперплоскостью в ). ${\ Displaystyle х_ {0}, \ ldots, х_ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Р} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} О (1)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Р} ^ {п}}$